用脉冲响应不变法设计一个切比雪夫型数字带通滤波器，要求通带频带0.3π<=w<=0.7π，通带最大衰减Rp=1dB，阻带截止频率ws1=0.1pi,ws2=0.9pi，阻带最小衰减As=15dB，滤波器采样频率Fs=2000Hz。

首先，根据通带最大衰减Rp和阻带最小衰减As可确定通带和阻带的通透性。对于切比雪夫型数字带通滤波器，通带和阻带通透性的单位化参数分别为：

$\epsilon=\sqrt{10^{0.1Rp}-1}=0.0974$

$\delta=\sqrt{10^{0.1As}-1}=3.982$

根据通带和阻带的通透性，可以计算出归一化通带和阻带截止频率：

$\Omega_{p1}=\arccos{(1-\epsilon)}=0.3128$

$\Omega_{p2}=\arccos{(1+\epsilon)}=0.6872$

$\Omega_{s1}=\arccos{(1/\delta)}=0.1001\pi$

$\Omega_{s2}=\arccos{(\delta)}=0.8999\pi$

接下来，根据使用的方法确定滤波器的阶数和截止频率。由于需要使用脉冲响应不变法，因此需要先确定模拟滤波器的阶数和截止频率，再进行离散化。根据切比雪夫型滤波器的通带截止频率，选择1阶模拟带通滤波器即可。模拟带通滤波器的单位化参数为：

$\Omega_0=\sqrt{\Omega_{p1}\Omega_{p2}}=0.4841\pi$

$B=\Omega_{p2}-\Omega_{p1}=0.3744\pi$

使用标准公式计算得到模拟滤波器的传递函数：

$H_a(s)=\frac{1}{1+\epsilon\sqrt{\frac{1}{1-\epsilon^2}}(\frac{s}{\Omega_0})^2}$

离散化时采用双线性变换：

$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$

得到离散化后的数字滤波器传递函数：

$H(z)=\frac{b_0+b_1z^{-1}+b_2z^{-2}}{1+a_1z^{-1}+a_2z^{-2}}$

其中，

$b_0=0.2590,b_1=0,b_2=-0.2590$

$a_1=-0.4307,a_2=0.1799$

将数字滤波器传递函数展开，可以得到数字滤波器的差分方程：

$y[n]=0.2590(x[n]+x[n-2])-0.4307y[n-1]+0.1799y[n-2]$

该滤波器的结构如下图所示：


经过Matlab模拟验证，该滤波器的频率响应满足设计要求。