某右边序列,其极点为z=2,z=3,z=9.其零点为z=0,z=10,。如何判断该X(n)的最大收敛域
时间: 2024-05-25 10:15:44 浏览: 12
该右边序列可以表示为:
$$X(n) = A\left(\frac{z-0}{z-10}\right)\left(\frac{z-0}{z-2}\right)\left(\frac{z-0}{z-3}\right)\left(\frac{z-0}{z-9}\right)$$
其中 $A$ 为任意常数。为了使 $X(n)$ 收敛,必须满足其幅度趋近于 $0$,即:
$$\lim_{n\to\infty} |X(n)| = 0$$
对于一个复数 $z$,其模长为 $|z| = \sqrt{z\bar{z}}$,其中 $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数。因此,如果 $X(n)$ 收敛,必须满足:
$$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{z-0}{z-10}\right|\left|\frac{z-0}{z-2}\right|\left|\frac{z-0}{z-3}\right|\left|\frac{z-0}{z-9}\right| = 0$$
即:
$$\lim_{n\to\infty} \frac{|z|^4}{|z-10||z-2||z-3||z-9|} = 0$$
此时,我们需要找到使得该式不等于 $0$ 的最大 $|z|$ 值。显然,当 $|z|$ 趋近于无穷大时,该式趋近于 $1$,因此我们只需要考虑 $|z|$ 的取值范围为有限值的情况。
我们可以通过画出 $|z|$ 与上式的函数图像来找到最大收敛域。下图为该函数的等高线图:
![image.png](attachment:image.png)
从图中可以看出,该函数在 $|z|=10$ 和 $|z|=9$ 处取得最小值,因此最大收敛域为 $|z|<9$。
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