y=||x||2的梯度
时间: 2023-08-12 15:07:15 浏览: 128
y=||x||^2的梯度可以通过链式法则来计算。首先,我们将y表示为y=x^Tx的形式,其中x为一个向量。然后,我们对x中的每个元素求偏导数。
对于向量的内积,我们有以下关系:d(x^Tx)/dx = 2x。
接下来,我们需要将链式法则应用于y=||x||^2。||x||表示x的L2范数,可以表示为||x|| = sqrt(x^Tx)。
因此,我们可以将y表示为y=sqrt(x^Tx)^2。现在,我们可以使用链式法则来计算梯度。
根据链式法则,我们有:dy/dx = dy/d(sqrt(x^Tx)) * d(sqrt(x^Tx))/dx。
首先,计算dy/d(sqrt(x^Tx))。由于y=sqrt(x^Tx)^2,我们可以将其简化为dy/d(sqrt(x^Tx)) = 2(sqrt(x^Tx))。
然后,计算d(sqrt(x^Tx))/dx。根据之前的关系,我们知道d(x^Tx)/dx = 2x,因此d(sqrt(x^Tx))/dx = (1/2) * (1/sqrt(x^Tx)) * 2x = x / sqrt(x^Tx)。
将这两个结果相乘,我们得到dy/dx = 2(sqrt(x^Tx)) * (x / sqrt(x^Tx)) = 2x。
因此,y=||x||^2的梯度是2x,其中x为输入向量。
相关问题
|𝑤𝑛−𝑤(𝑛−1)|=|𝑙𝑟⋅∇𝑤𝑓(𝑤(𝑛−1))|
根据引用,可以得知散度的定义为:div(v)=∇⋅v=P x +Q y +R z。其中,∇表示梯度算子,P、Q、R分别表示v在x、y、z方向上的偏导数。因此,|𝑙𝑟⋅∇𝑤𝑓(𝑤(𝑛−1))|表示梯度向量的模长,|𝑤𝑛−𝑤(𝑛−1)|表示两个迭代点之间的距离。这个式子的意义是:如果梯度向量的模长很小,那么两个迭代点之间的距离也应该很小,反之亦然。
根据引用,可以得知∣∣Y−HX∣∣2表示真实值Y与预测值HX之间的误差平方和。其中,Y和X分别表示真实值和特征矩阵,H表示模型参数。这个式子的意义是:通过最小化误差平方和来优化模型参数,使得预测值HX更接近真实值Y。
综上所述,|𝑤𝑛−𝑤(𝑛−1)|=|𝑙𝑟⋅∇𝑤𝑓(𝑤(𝑛−1))|的意义是:在优化算法中,如果梯度向量的模长很小,那么两个迭代点之间的距离也应该很小,反之亦然。这个式子可以用来判断优化算法是否收敛。
求函数y=x的二范数的梯度?
函数 $y=x$ 的二范数为 $||y||_2 = \sqrt{y^2} = \sqrt{x^2}$。
梯度是指函数在每个自变量方向上的偏导数构成的向量,因此需要对 $||y||_2$ 对 $x$ 求偏导数,即:
$$
\frac{\partial ||y||_2}{\partial x}=\frac{\partial \sqrt{x^2}}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{||y||_2}
$$
因此,函数 $y=x$ 的二范数的梯度为 $\nabla ||y||_2 = \begin{pmatrix} \frac{\partial ||y||_2}{\partial x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x}{||y||_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \end{pmatrix}$。