考虑一个因果线性时不变系统，其差分方程为 𝑦[𝑛] + 1 /2 *𝑦[𝑛 − 1] = x[n] 在下列输入时画出系统响应： (i) 𝑥[𝑛] = ( 1 2 ) 𝑛𝑢[n] (ii) 𝑥[𝑛] = (− 1 2 ) 𝑛𝑢[n]

首先，我们可以将差分方程转化为其传输函数形式：

$H(z) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}z^{-1}}$

(i) 对于输入 $x[n] = (\frac{1}{2})^n u[n]$

我们可以将其变换为 $x(z) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}$

因此，系统的输出为：

$y(z) = H(z) \cdot x(z) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}z^{-1}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}}$

通过部分分式分解，得到：

$y(z) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}z^{-1}} - \frac{1}{1 + \frac{1}{2}z^{-1}}$

再将其反变换回时域，得到：

$y[n] = (\frac{1}{2})^n - (-\frac{1}{2})^n$

(ii) 对于输入 $x[n] = (-\frac{1}{2})^n u[n]$

我们可以将其变换为 $x(z) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}z^{-1}}$

因此，系统的输出为：

$y(z) = H(z) \cdot x(z) = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}z^{-1}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}z^{-1}}$

通过部分分式分解，得到：

$y(z) = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}z^{-2}}$

再将其反变换回时域，得到：

$y[n] = (-\frac{1}{4})^n u[n] + (-\frac{1}{4})^n u[n-2]$

因此，当输入为 $(\frac{1}{2})^n u[n]$ 时，系统的输出为 $(\frac{1}{2})^n - (-\frac{1}{2})^n$，当输入为 $(-\frac{1}{2})^n u[n]$ 时，系统的输出为 $(-\frac{1}{4})^n u[n] + (-\frac{1}{4})^n u[n-2]$。