二维热传导方程非齐次形式初边值问题程序

以下是一个求解二维热传导方程非齐次形式初边值问题的程序（使用有限差分方法）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义初始条件和边界条件
T0 = 20  # 初始温度
T1 = 100  # 边界温度

# 定义模拟区域大小和时间步长
Lx = 1  # 区域长度
Ly = 1  # 区域宽度
Nx = 50  # 离散化节点数
Ny = 50  # 离散化节点数
dx = Lx / Nx  # 网格步长
dy = Ly / Ny  # 网格步长
dt = 0.01  # 时间步长
T = 10  # 模拟总时间
Nt = int(T / dt)  # 时间步数

# 初始化温度场
T = np.zeros((Nx + 1, Ny + 1))
T[:, 0] = T1  # 边界条件
T[0, :] = T0  # 边界条件
T[-1, :] = T0  # 边界条件
T[:, -1] = T0  # 边界条件

# 定义热传导系数和热源项
k = 0.1  # 热传导系数
Q = 5  # 热源项

# 使用有限差分方法求解二维热传导方程
for n in range(Nt):
    Tn = T.copy()
    for i in range(1, Nx):
        for j in range(1, Ny):
            T[i, j] = Tn[i, j] + k * dt / dx**2 * (Tn[i+1, j] - 2*Tn[i, j] + Tn[i-1, j]) \
                      + k * dt / dy**2 * (Tn[i, j+1] - 2*Tn[i, j] + Tn[i, j-1]) + Q * dt

    # 边界条件
    T[:, 0] = T1
    T[0, :] = T0
    T[-1, :] = T0
    T[:, -1] = T0

# 绘制温度场
x = np.linspace(0, Lx, Nx+1)
y = np.linspace(0, Ly, Ny+1)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
plt.contourf(X, Y, T)
plt.colorbar()
plt.show()

该程序使用了有限差分方法（finite difference method）来求解二维热传导方程，其中：

- `T0` 是初始温度，`T1` 是边界温度；
- `Lx` 和 `Ly` 分别是模拟区域的长度和宽度，`Nx` 和 `Ny` 分别是离散化节点数；
- `dx` 和 `dy` 是网格步长，`dt` 是时间步长，`T` 是温度场；
- `k` 是热传导系数，`Q` 是热源项；
- `Nt` 是时间步数，`Tn` 是上一时刻的温度场。

程序中使用了 `numpy` 和 `matplotlib` 库来进行数组处理和可视化。运行该程序可以得到二维热传导方程的温度场分布。