证明二元实函数是内积当且仅当矩阵是正定矩阵

设$f(x, y)$是定义在实数域上的二元实函数，$A$是$n \times n$实矩阵，则$f(x, y)$是$A$的内积函数，当且仅当$f(x, y)$满足以下三个条件：

1. $f(x, y)$是对称函数，即$f(x, y) = f(y, x)$。

2. $f(x, y)$是线性函数，即对于任意实数$a, b$，有$f(ax_1 + bx_2, y) = af(x_1, y) + bf(x_2, y)$和$f(x, ay_1 + by_2) = af(x, y_1) + bf(x, y_2)$。

3. $f(x, y)$是正定函数，即对于任意非零实向量$(x, y)$，都有$f(x, y) > 0$。

现在证明一个$n \times n$实矩阵$A$是正定矩阵，当且仅当它对应的二元实函数$f(x, y) = (x, y)A(x, y)^T$是内积函数。

证明：

1. 若$f(x, y)$是内积函数，则$f(x, y)$一定是对称函数和线性函数。又因为$f(x, y) = (x, y)A(x, y)^T = (y, x)A(y, x)^T = f(y, x)$，所以$f(x, y)$是对称函数。对于任意实数$a, b$和向量$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，有：

$$\begin{aligned} f(ax_1 + bx_2, y) &= (ax_1 + bx_2, y)A(ax_1 + bx_2, y)^T \\ &= a(x_1, y)A(x_1, y)^T + b(x_2, y)A(x_2, y)^T \\ &= af(x_1, y) + bf(x_2, y) \end{aligned}$$

同理可证$f(x, ay_1 + by_2) = af(x, y_1) + bf(x, y_2)$，所以$f(x, y)$是线性函数。

又因为$f(x, y)$是正定函数，所以对于任意非零向量$(x, y)$，都有$(x, y)A(x, y)^T > 0$，即$A$是正定矩阵。

2. 若$A$是正定矩阵，则$f(x, y) = (x, y)A(x, y)^T$是对称函数和线性函数。对于任意非零向量$(x, y)$，有：

$$\begin{aligned} (x, y)A(x, y)^T &= \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}^T \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \\ &= a_{11}x^2 + (a_{12} + a_{21})xy + a_{22}y^2 \\ &= \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & \frac{1}{2}(a_{12} + a_{21}) \\ \frac{1}{2}(a_{12} + a_{21}) & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} B \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{aligned}$$

其中$B = \begin{bmatrix} a_{11} & \frac{1}{2}(a_{12} + a_{21}) \\ \frac{1}{2}(a_{12} + a_{21}) & a_{22} \end{bmatrix}$是一个对称矩阵。由于$A$是正定矩阵，所以$B$也是正定矩阵。又因为任意正定矩阵都可以表示为某个二元实函数的内积，所以$f(x, y) = (x, y)A(x, y)^T$是内积函数。

综上所述，一个$n \times n$实矩阵$A$是正定矩阵，当且仅当它对应的二元实函数$f(x, y) = (x, y)A(x, y)^T$是内积函数。