给定平行四边形ABCD,M是对角线AC和BD的交点,对于任何给定点O,证明向量OA+OB+OC+OD=4OM。
时间: 2024-06-05 09:09:06 浏览: 13
我们可以使用向量法进行证明。首先,我们可以将向量OA、OB、OC、OD表示为向量OM和另外两个向量的和:
OA = OM + MA
OB = OM + MB
OC = OM + MC
OD = OM + MD
现在,我们可以将左边的向量积展开:
OA OB OC OD = (OM + MA) (OM + MB) (OM + MC) (OM + MD)
= OM (OM + MB) (OM + MC) (OM + MD) + MA (OM + MB) (OM + MC) (OM + MD)
+ MB (OM + MA) (OM + MC) (OM + MD) + MC (OM + MA) (OM + MB) (OM + MD)
+ MD (OM + MA) (OM + MB) (OM + MC) + MA MB (OM + MC) (OM + MD)
+ MA MC (OM + MB) (OM + MD) + MA MD (OM + MB) (OM + MC)
+ MB MC (OM + MA) (OM + MD) + MB MD (OM + MA) (OM + MC) + MC MD (OM + MA) (OM + MB)
现在,我们可以看到每个括号内都包含一个OM项和三个其他向量的乘积。我们可以使用平行四边形法则将这些三个向量的乘积表示为一个向量的两倍,因此:
OA OB OC OD = 4OM (MA + MB + MC + MD)
但是,我们知道平行四边形ABCD的两条对角线互相平分,因此MA + MC = MB + MD。因此,
OA OB OC OD = 4OM (MA + MB + MC + MD) = 4OM (2MA + 2MB)
= 8OM (MA + MB)
= 8OM AB
因此,我们证明了向量OA OB OC OD=4OM,其中M是平行四边形ABCD的对角线交点。
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