YOLOv5数学公式推导

YOLOv5 的数学公式推导相对于 YOLOv4 来说有些改动，主要是在 anchor box 的处理上，下面将对 YOLOv5 的数学公式进行推导。

首先，YOLOv5 的目标检测模型采用了 anchor-free 的方式，即不需要预设 anchor box，而是直接预测 bounding box 的中心点坐标、宽度和高度，这样可以避免 anchor box 的选择不准确的问题。

其次，YOLOv5 采用了 SPP(Spatial Pyramid Pooling) 网络结构，即在最后一个卷积层后加入了一个池化层，使得网络可以处理不同大小的输入图像。具体来说，在最后一个卷积层的输出特征图上分别进行不同大小的池化操作，然后将池化结果拼接起来作为全局特征表示，以此来提高检测性能。

接下来，我们来看一下 YOLOv5 的数学公式：

首先是预测 bounding box 的位置和置信度：

$$
\begin{aligned}
b_{x} &= \sigma(t_{x}) + c_{x}\\
b_{y} &= \sigma(t_{y}) + c_{y}\\
b_{w} &= p_{w} e^{t_{w}}\\
b_{h} &= p_{h} e^{t_{h}}\\
b_{obj} &= \sigma(t_{obj})\\
b_{noobj} &= \sigma(t_{noobj})
\end{aligned}
$$

其中，$b_{x}$、$b_{y}$、$b_{w}$、$b_{h}$ 分别表示预测的 bounding box 的中心点坐标、宽度和高度，$b_{obj}$ 表示该 bounding box 是否包含目标，$b_{noobj}$ 表示该 bounding box 是否不包含目标。$t_{x}$、$t_{y}$、$t_{w}$、$t_{h}$、$t_{obj}$、$t_{noobj}$ 分别表示网络预测的偏移量和置信度得分，$\sigma$ 表示 sigmoid 函数，$p_{w}$、$p_{h}$ 分别表示当前 grid cell 的宽度和高度，$c_{x}$、$c_{y}$ 分别表示当前 grid cell 的左上角坐标。

接着是计算损失函数：

$$
\begin{aligned}
L_{coord} &= \lambda_{coord}\sum_{i=0}^{S^2}\sum_{j=0}^{B}(b_{i,j}^{obj}[({x_{i,j}}-{\hat{x}_{i,j}})^2 + ({y_{i,j}}-{\hat{y}_{i,j}})^2 + ({\sqrt{w_{i,j}}}-{\sqrt{\hat{w}_{i,j}}})^2 + ({\sqrt{h_{i,j}}}-{\sqrt{\hat{h}_{i,j}}})^2])\\
L_{obj} &= \sum_{i=0}^{S^2}\sum_{j=0}^{B}b_{i,j}^{obj}[{-\log(\hat{b}_{i,j}^{obj})}] + \lambda_{noobj}\sum_{i=0}^{S^2}\sum_{j=0}^{B}b_{i,j}^{noobj}[{-\log(1-\hat{b}_{i,j}^{obj})}]\\
L_{cls} &= \lambda_{cls}\sum_{i=0}^{S^2}\sum_{j=0}^{B}b_{i,j}^{obj}\sum_{c\in classes}({p_{i,j}}(c)-{\hat{p}_{i,j}}(c))^2\\
L &= L_{coord} + L_{obj} + L_{cls}
\end{aligned}
$$

其中，$L_{coord}$ 表示 bounding box 的位置损失函数，$L_{obj}$ 表示包含目标的 bounding box 的置信度损失函数，$L_{cls}$ 表示分类损失函数，$L$ 表示总损失函数，$\hat{x}_{i,j}$、$\hat{y}_{i,j}$、$\hat{w}_{i,j}$、$\hat{h}_{i,j}$、$\hat{b}_{i,j}^{obj}$、${\hat{p}_{i,j}}(c)$ 分别表示 ground truth 中第 $i$ 个 grid cell 中第 $j$ 个 bounding box 的中心点坐标、宽度和高度，以及所属类别和是否包含目标的置信度得分，$\lambda_{coord}$、$\lambda_{obj}$、$\lambda_{noobj}$、$\lambda_{cls}$ 分别表示不同损失函数的权重系数，$p_{i,j}(c)$ 表示预测的第 $i$ 个 grid cell 中第 $j$ 个 bounding box 的分类得分。

以上就是 YOLOv5 的数学公式推导过程，希望对你有所帮助。