离散函数怎么证明为凸函数
时间: 2024-05-22 09:16:53 浏览: 12
设 $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R}$ 是一个离散函数,要证明 $f$ 是凸函数,需要证明对于任意 $x,y\in\mathbb{Z}$,以及 $0\leq\lambda\leq1$,都满足:
$$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$
考虑 $\lambda x+(1-\lambda)y$ 的取值情况,根据 $\lambda$ 的取值范围,可以分为以下几种情况:
1. 当 $\lambda=0$ 时,有 $\lambda x+(1-\lambda)y=y$,此时原不等式左边为 $f(y)$,右边为 $\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)=f(y)$,显然成立。
2. 当 $\lambda=1$ 时,有 $\lambda x+(1-\lambda)y=x$,此时原不等式左边为 $f(x)$,右边为 $\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)=f(x)$,显然成立。
3. 当 $0<\lambda<1$ 时,$\lambda x+(1-\lambda)y$ 是 $x$ 和 $y$ 之间的整数,可以将其表示为 $z=kx+(1-k)y$ 的形式,其中 $k=\frac{\lambda y}{y-x}+\frac{x-\lambda x}{y-x}=1-\frac{\lambda}{y-x}$。注意到 $k\in[0,1]$,根据凸函数的定义,有:
$$f(z)\leq kf(x)+(1-k)f(y)$$
将 $k$ 代入上式,得到:
$$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$
因此,对于任意的 $x,y\in\mathbb{Z}$ 和 $0\leq\lambda\leq1$,都有 $f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$,即 $f$ 是凸函数。