用一张一元钱换1分、2分和5分的硬币（至少各一枚），问有几种换法？每种换法中1分、2分和5分的硬币各几枚？

### 回答1：
用一张一元钱换1分、2分和5分的硬币（至少各一枚）的换法有以下几种：

1. 1枚1分硬币，4枚2分硬币，1枚5分硬币
2. 1枚1分硬币，2枚2分硬币，3枚5分硬币
3. 1枚1分硬币，1枚2分硬币，5枚5分硬币

每种换法中1分、2分和5分的硬币数量如上所示。共有3种换法。

### 回答2：
这是一道组合问题，我们可以考虑使用动态规划的方法解决。

首先定义一个长度为 $3$ 的数组 $coins$，分别表示 $1$ 分、$2$ 分和 $5$ 分硬币的数量。我们设 $f(x)$ 表示用 $x$ 张一元钞票所能换到的硬币的种类数，$g(x, i)$ 表示用 $x$ 张一元钞票所能换到的硬币种类数，其中 $i$ 可以取 $0$、$1$ 和 $2$，分别表示当前硬币可以用 $1$ 分、$2$ 分、$5$ 分硬币表示。那么有如下的状态转移方程：

$$
f(x) = \sum_{i=0}^2 g(x, i)
$$

$$
g(x, 0) = g(x-1, 0) + g(x-1, 1) + g(x-1, 2)
$$

$$
g(x, 1) = g(x-2, 1) + g(x-2, 2)
$$

$$
g(x, 2) = g(x-5, 2)
$$

其中，$g(x, 0)$ 表示在当前硬币使用 $1$ 分表示时，我们需要考虑剩下 $x-1$ 张纸币可以组成的硬币的种类数。因为当前硬币已经使用了 $1$ 分硬币表示，所以只能使用 $1$ 分、$2$ 分和 $5$ 分硬币表示。同理，$g(x, 1)$ 和 $g(x, 2)$ 分别表示在使用 $2$ 分和 $5$ 分硬币表示时，我们需要考虑剩下的纸币可以组成的硬币的种类数。

考虑边界条件，当 $x=0$ 时，$f(x)=1$，因为不用任何纸币就可以表示 $0$ 分。当 $x=1$ 时，$g(x, 0)=1$，因为只有 $1$ 分硬币可以使用。当 $x\leq 1$ 时，$g(x, 1)=0$ 和 $g(x, 2)=0$，因为不能使用 $2$ 分或者 $5$ 分硬币来表示 $1$ 分以下的金额。

最终，我们只需要计算出 $f(100)$ 就可以得到用 $100$ 张一元钞票所能换到的硬币的种类数。而每种换法中 $1$ 分、$2$ 分和 $5$ 分的硬币的数量，则可以根据 $g(x, 0)$、$g(x, 1)$ 和 $g(x, 2)$ 推导出来。

### 回答3：
将一元钱换成1分、2分和5分的硬币有多种不同的方法，每种方法中1分、2分和5分的硬币数量不同。

首先考虑1分的硬币，我们可以用一元钱换100枚1分硬币，也可以不用任何1分硬币。因此，对于1分硬币的数量，有0个或100个两种情况。

接下来考虑2分的硬币，由于一元钱最多只能凑出50个2分硬币，所以对于2分硬币的数量，最多有51种情况，即0个2分硬币，1个2分硬币，2个2分硬币，直到50个2分硬币。

最后考虑5分的硬币，由于一元钱最多只能凑出20个5分硬币，所以对于5分硬币的数量，最多有21种情况，即0个5分硬币，1个5分硬币，直到20个5分硬币。

因此，将一元钱换成1分、2分和5分的硬币，总共有$2\times51\times21=2142$种不同的方法。其中，1分硬币的数量为0个或100个，2分硬币的数量为0个到50个，5分的硬币数量为0个到20个。