如何用坐标轮换法求出f(x)=4(x₁-5)²+(x₂-6)²的最优解

坐标轮换法（Coordinate Descent）通常用于优化问题中的线性函数或凸二次函数，但并不直接适用于非线性的函数如你提到的 \( f(x) = 4(x_1 - 5)^2 + (x_2 - 6)^2 \)，因为这种方法是针对目标函数的一部分变量进行独立优化，然后固定其他变量。

对于这个特定的二次函数，由于它的形式简单，最优化可以直接使用梯度下降法（Gradient Descent），也称为牛顿法（Newton's Method）的一个特殊情况——梯度搜索。对于二次函数，最小值出现在梯度（也就是导数）为零的地方。我们可以计算其偏导数：

\[
\frac{\partial f}{\partial x_1} = 8(x_1 - 5)
\]
\[
\frac{\partial f}{\partial x_2} = 2(x_2 - 6)
\]

为了找到最小点，我们需要迭代更新 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 直到它们满足以下条件：
1. \( \frac{\partial f}{\partial x_1} = 0 \)
2. \( \frac{\partial f}{\partial x_2} = 0 \)

这相当于解方程组：
\[
x_1 = 5 + \frac{1}{8} \cdot \text{(某个标量)}
\]
\[
x_2 = 6 + \frac{1}{2} \cdot \text{(某个标量)}
\]

初始时，选择一个小的步长 \( \alpha \)，比如0.01，然后执行以下循环直到达到收敛条件（例如，连续几次变化很小或者达到最大迭代次数）：

while (not converged) {
    dx1 = - gradient[0] / hessian[0,0]; // hessian = [[8, 0], [0, 2]]
    dx2 = - gradient[1] / hessian[1,1];
    
    x1 += dx1;
    x2 += dx2;
    
    check_convergence();
}

最优解就是 \( x_1 = 5 \) 和 \( x_2 = 6 \)。

如果你要使用坐标轮换法，它在这个情况下可能不如直接求解方程方便。不过，如果目标函数更复杂，或者有约束条件，坐标轮换法可能会更有优势。