tarjan算法缩点

Tarjan算法是一种用于图的强连通分量（SCC）的缩点算法。它是由Robert Tarjan在1972年提出的。该算法可以将一个给定的有向图分解为多个强连通分量，并且将每个强连通分量缩成一个点，从而得到一个有向无环图（DAG）。

算法的基本思想是通过深度优先搜索（DFS）遍历图的节点，并在遍历的过程中维护一个栈来记录遍历路径上的节点。当遍历到某个节点时，可以通过判断该节点是否在栈中来判断是否找到了一个强连通分量。如果找到了强连通分量，则可以从栈中依次取出这些节点，将它们缩成一个点，并且将这个点标记为已访问。通过不断地执行这个过程，直到所有节点都被访问完毕，就可以得到图的所有强连通分量。

缩点操作可以用一个新的有向图来表示原图的强连通分量。新图中的节点表示原图中的强连通分量，边表示原图中的边所关联的强连通分量之间的关系。通过缩点操作，可以将原图中的复杂结构变得更简洁，同时保留了原图中强连通分量之间的关系。缩点后的图是一个DAG，可以用于进行一些基于拓扑排序的算法。

Tarjan算法的时间复杂度是O(V+E)，其中V是图的节点数，E是图的边数。该算法在实际应用中广泛使用，例如在求解强连通分量、找出割点和桥等问题上都有应用。

相关问题

Tarjan缩点算法的原理

Tarjan缩点算法是一种图算法，用于在有向图中找到强连通分量。其基本原理是通过深度优先搜索遍历图，同时记录每个节点的搜索次序和能够到达的最小搜索次序，通过这些信息可以判断节点是否在一个强连通分量中，并将这些节点缩成一个点，形成新的有向无环图。具体步骤如下：

1. 初始化。对于每个节点，记录其搜索次序为0，能够到达的最小搜索次序为无穷大，同时建立一个栈来存储节点。

2. 深度优先搜索。从任意一个节点开始进行深度优先搜索，同时记录每个节点的搜索次序和能够到达的最小搜索次序。如果搜索到的节点不在栈中，将其加入栈中。

3. 判断是否为强连通分量。当搜索到节点u时，如果能够找到一个节点v满足v的搜索次序小于u的能够到达的最小搜索次序，说明u可以从v到达，即u和v在同一个强连通分量中，将u和v之间的所有节点都弹出栈，并将它们缩成一个点。

4. 重复步骤2和步骤3，直到所有节点都被搜索过。

5. 缩点。将所有被缩成一个点的节点形成一个新的有向无环图，其中每个节点表示一个强连通分量。

Tarjan缩点算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V为节点数，E为边数。它是求解强连通分量的最优算法之一。

Tarjan算法和Kosaraju算法

Tarjan算法和Kosaraju算法都是求解有向图强连通分量的算法，它们的时间复杂度都为O(N+M)，其中N为图中节点数，M为图中边数。

Tarjan算法的基本思想是通过DFS遍历图中的节点，并在遍历的过程中维护一个栈，用于存储已经遍历过的节点。在遍历的过程中，对于每个节点，记录它被遍历到的时间戳和能够到达的最小时间戳，当一个节点的最小时间戳等于它自身的时间戳时，说明这个节点及其之前遍历到的节点构成了一个强连通分量，将这些节点从栈中弹出即可。

Kosaraju算法的基本思想是先对原图进行一次DFS，得到一个反向图，然后再对反向图进行DFS。在第二次DFS的过程中，每次从未被访问过的节点开始遍历，遍历到的所有节点构成一个强连通分量。

两种算法的具体实现可以参考以下代码：

# Tarjan算法
def tarjan(u):
    dfn[u] = low[u] = timestamp
    timestamp += 1
    stk.append(u)
    for v in graph[u]:
        if not dfn[v]:
            tarjan(v)
            low[u] = min(low[u], low[v])
        elif v in stk:
            low[u] = min(low[u], dfn[v])
    if dfn[u] == low[u]:
        scc = []
        while True:
            v = stk.pop()
            scc.append(v)
            if v == u:
                break
        scc_list.append(scc)

# Kosaraju算法
def dfs1(u):
    vis[u] = True
    for v in graph[u]:
        if not vis[v]:
            dfs1(v)
    stk.append(u)

def dfs2(u):
    vis[u] = True
    scc.append(u)
    for v in reverse_graph[u]:
        if not vis[v]:
            dfs2(v)

# 构建图和反向图
graph = [[] for _ in range(n)]
reverse_graph = [[] for _ in range(n)]
for u, v in edges:
    graph[u].append(v)
    reverse_graph[v].append(u)

# Tarjan算法求解强连通分量
dfn = [0] * n
low = [0] * n
timestamp = 1
stk = []
scc_list = []
for i in range(n):
    if not dfn[i]:
        tarjan(i)

# Kosaraju算法求解强连通分量
vis = [False] * n
stk = []
scc_list = []
for i in range(n):
    if not vis[i]:
        dfs1(i)
vis = [False] * n
while stk:
    u = stk.pop()
    if not vis[u]:
        scc = []
        dfs2(u)
        scc_list.append(scc)