最少硬币问题 时间复杂度

在计算机科学中，"最少硬币找零"问题通常指的是找到使用最少数量的特定面额硬币组合来支付给定金额的问题。这个问题可以用动态规划算法来解决，其中每个状态代表剩余需要找零的金额和已使用的硬币面额。

时间复杂度分析：
对于这个经典的动态规划问题，比如有n种不同面额的硬币和一个金额m，我们可以定义一个一维数组dp[m+1]，其中dp[i]表示支付i元所需的最小硬币数量。对于每个状态i，我们检查所有小于i的硬币面额j，如果j能被i整除，说明可以使用一枚j元硬币，那么dp[i]就更新为dp[i-j]+1。否则，dp[i]就是当前状态不使用任何硬币的情况，即dp[i] = dp[i] (初始值通常设为i，因为不使用任何硬币需要i个面值为1的硬币)。

这个过程的循环次数是m，对于每个i，最多需要考虑n次（最多n种硬币），因此总的时间复杂度是O(n * m)。不过，由于实际计算中许多状态会被多次访问（例如当i减小时，会重算已经计算过的dp[i-j]），所以空间优化后（使用滚动数组或只保留最近的状态），可以将空间复杂度降低到O(min(n, m))。

相关问题

八枚硬币问题的时间复杂度

八枚硬币问题，也称为“最有可能出现正面”的问题，是指在一个序列中找出最少需要翻转多少次，使得序列恰好变为全部正面。这个问题可以通过二进制搜索的方法来解决，每一次操作都是翻转两个硬币。在最坏的情况下，每个硬币可能初始状态是反面，我们需要翻转最多7次（因为8个硬币，每次翻转改变两个状态）才能全部变正。所以时间复杂度是O(log n)，其中n是硬币的数量。每次比较当前的翻转次数与目标状态的硬币数量，直到找到最小翻转次数。

贪心法设计一个以金额 n 和硬币面额𝑑1 > 𝑑2 > ⋯ > 𝑑𝑚作为输入，得到最少找零硬币数。为 以上找零问题设计一个贪婪算法，给出算法伪码，并分析其时间复杂度。

这个问题可以使用贪心法来求解。我们可以先将硬币面额按照从大到小的顺序排序，然后从大到小依次考虑每一种面额的硬币。

具体做法是，对于当前考虑的硬币面额𝑑𝑖，尽可能多地使用该面额的硬币，直到该面额的硬币不能再用了，然后转到下一个面额。

下面是该算法的伪代码：

def minCoins(n, coins):
    coins = sorted(coins, reverse=True)  # 按从大到小排序
    count = 0
    for coin in coins:
        while n >= coin:
            n -= coin
            count += 1
    return count

时间复杂度分析：假设硬币面额数量为m，那么排序的时间复杂度为O(mlogm)，每种面额的硬币最多使用n/di个，所以总共需要进行O(m)次循环，因此算法的时间复杂度为O(mlogm+n)。