C++求解硬币问题。有1分、2分、5分、10分、50分和100分的硬币各若干枚，现在要用这些硬币来支付W元，最少需要多少枚硬币

这是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法来解决。具体步骤如下：

1. 定义状态：用 f(n) 表示支付 n 元所需要的最少硬币数。

2. 初始化：f(0) = 0。

3. 状态转移方程：对于 n 元，我们可以选择使用 1 分、2 分、5 分、10 分、50 分或 100 分的硬币，因此：

f(n) = min{f(n-1), f(n-2), f(n-5), f(n-10), f(n-50), f(n-100)} + 1

4. 最终答案：f(W) 就是最少需要的硬币数。

下面是 C++ 的实现代码：

int coinChange(int W, vector<int>& coins) {
    vector<int> dp(W+1, INT_MAX);
    dp[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= W; ++i) {
        for (int coin : coins) {
            if (i >= coin && dp[i-coin] != INT_MAX) {
                dp[i] = min(dp[i], dp[i-coin]+1);
            }
        }
    }
    return dp[W];
}

其中，coins 是硬币的面值数组。时间复杂度为 O(W*|coins|)，空间复杂度为 O(W)。

相关问题

30分）应用穷举法求解硬币问题。有1分、2分、5分、10分、50分和100分的硬币各若干枚，现在要用这些硬币来支付W元，最少需要多少枚硬币？ c++代码

应用穷举法求解硬币问题通常涉及到动态规划的思想。首先，我们需要确定一个状态转移方程，然后从最小面额开始枚举到目标金额。在这个场景下，我们可以创建一个数组 `dp`，其中 `dp[i]` 表示支付 `i` 元所需的最少硬币数。

以下是简单的 C++ 代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int coinChange(int coins[], int m, int W) {
    // 初始化 dp 数组，所有金额都是无限大，直到找到正确的值
    int dp[W + 1];
    for (int i = 0; i <= W; ++i)
        dp[i] = INT_MAX;
    
    dp[0] = 0; // 0元不需要硬币

    // 枚举每种硬币
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        // 对于每个硬币，更新大于等于其面值的所有金额的最优解
        for (int j = coins[i]; j <= W; ++j) {
            if (dp[j-coins[i]] != INT_MAX) // 如果前面金额可用，则考虑加上当前硬币
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
        }
    }

    // 如果无法达到W元，返回INT_MAX；否则，返回达到W元的最少硬币数
    return dp[W] == INT_MAX ? -1 : dp[W];
}

int main() {
    int coins[] = {1, 2, 5, 10, 50, 100}; // 硬币面额
    int m = sizeof(coins) / sizeof(coins[0]);
    int W = 100; // 需要支付的金额
    cout << "最少需要的硬币数: " << coinChange(coins, m, W) << endl;
    return 0;
}

这个代码会计算支付给定金额所需的最少硬币数量，如果无法组成该金额则返回 -1。注意，这仅是最基础的实现，实际使用中还需要处理边界条件和其他优化，例如提前终止搜索等。

【问题描述】假设n个硬币(1<=n<=100)，编号1~n, 其中有且仅有一枚假币，假币比真币重量轻。采用天平称重方式找到这枚假币，并用C++给出求解过程。 【输入形式】n k （例：n=100为硬币枚数，编号1~100，k为假币编号，1<=k<=n;n和k用空格分隔) 【输出形式】见样例 【样例输入】100 23 【样例输出】 硬币1-33和硬币34-66称重一次且前者重量轻 硬币1-11和硬币12-22称重一次且两者重量相同 硬币23-25和硬币26-28称重一次且前者重量轻 硬币23和硬币24称重一次且前者重量轻 硬币23是假币 【样例说明】1、采用三分法，且必须按的方式对硬币进行三分，否则求解过程可能与测试样例输出不一致； 2、当天平的某一端硬币为单枚时，求解过程应仅出现单枚编号，如样例输出的倒数第二行所示。 3、输出格式须与样例完全一致。

以下是根据题目要求实现的C++代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 将硬币分成三组
vector<vector<int>> split_coins(const vector<int>& coins) {
    int n = coins.size();
    int group_size = n / 3;
    int left_size = n - group_size * 3;

    vector<vector<int>> groups;
    int i = 0;
    while (i < n) {
        vector<int> group;
        int j = 0;
        while (j < group_size && i < n) {
            group.push_back(coins[i]);
            i++;
            j++;
        }
        if (left_size > 0 && i < n) {
            group.push_back(coins[i]);
            i++;
            left_size--;
        }
        groups.push_back(group);
    }
    return groups;
}

// 称重函数，返回硬币的总重量
int weigh_coins(const vector<int>& coins) {
    int weight = 0;
    for (int coin : coins) {
        weight += coin;
    }
    return weight;
}

// 递归函数，找到假币并输出求解过程
void find_fake_coin(const vector<int>& coins, int left, int right) {
    if (left == right) {
        cout << "硬币" << left << "是假币" << endl;
    } else {
        // 将硬币分成三组
        vector<vector<int>> groups = split_coins(coins);

        // 称重
        int weight1 = weigh_coins(groups[0]);
        int weight2 = weigh_coins(groups[1]);
        int weight3 = weigh_coins(groups[2]);

        if (weight1 == weight2) {
            // 假币在第三组
            cout << "硬币" << left << "-" << right - groups[2].size() << "和硬币"
                 << right - groups[2].size() + 1 << "-" << right << "称重一次且前者重量轻" << endl;
            find_fake_coin(groups[2], right - groups[2].size() + 1, right);
        } else if (weight1 < weight2) {
            // 假币在第一组
            cout << "硬币" << left << "-" << left + groups[0].size() - 1 << "和硬币"
                 << right - groups[2].size() + 1 << "-" << right << "称重一次且两者重量相同" << endl;
            find_fake_coin(groups[0], left, left + groups[0].size() - 1);
        } else {
            // 假币在第二组
            cout << "硬币" << left + groups[0].size() << "-" << right - groups[2].size() << "和硬币"
                 << right - groups[2].size() + 1 << "-" << right << "称重一次且前者重量轻" << endl;
            find_fake_coin(groups[1], left + groups[0].size(), right - groups[2].size());
        }
    }
}

int main() {
    int n, k;
    cin >> n >> k;

    // 初始化硬币编号和重量
    vector<int> coins(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        coins[i] = (i + 1 == k) ? -1 : 1;  // 标记假币
    }

    // 找到假币并输出求解过程
    cout << "采用三分法，且必须按的方式对硬币进行三分，否则求解过程可能与测试样例输出不一致" << endl;
    cout << "当天平的某一端硬币为单枚时，求解过程应仅出现单枚编号" << endl;
    find_fake_coin(coins, 1, n);

    return 0;
}

在这个实现中，我们使用了 `vector` 来存储硬币的编号和重量，使用了递归函数 `find_fake_coin()` 来找到假币。在 `split_coins()` 函数中，我们将硬币分成三组，并将多余的硬币放入第二组或第三组中，以保证三组大小相等或相差不超过1。在 `find_fake_coin()` 函数中，我们先将硬币分成三组进行称重，再根据称重结果递归地找到假币并输出求解过程。最后，我们在 `main()` 函数中读入硬币数量和假币编号，找到假币并输出求解过程。