用c++分治法求解查找假币问题。有n枚硬币，其中一枚假币，且假币较轻，采用天平称重方式找到这个假币。设计算法，并给出程序设计过程。 1. 分别采用递归技术和非递归技术完成算法设计 2. 尝试优化算法，如三分法，并比较算法性能

一、递归算法设计

假设有n个硬币，其中一个假币比其他硬币轻，那么可以将它们分成三组。将n个硬币平均分成三组，若n不能被3整除，可以分成两组，其中一组为2/3，另一组为1/3。将这三组硬币分别称重，如果三组中有一组的重量与另外两组不同，那么这组硬币中必有假币，否则假币在剩下的两组中。接着对假币所在的组进行递归操作，直到只剩下一枚硬币，即找到假币。

下面是递归算法的代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int findFakeCoin(int coins[], int left, int right)
{
    if (left == right)  // 如果只有一枚硬币，则为假币
        return left;

    int n = right - left + 1;  // 硬币数量
    int group = n / 3;  // 每组硬币数量

    // 分别称重三组硬币
    int weight1 = 0, weight2 = 0, weight3 = 0;
    for (int i = left; i <= left + group - 1; i++)
        weight1 += coins[i];
    for (int i = left + group; i <= left + 2 * group - 1; i++)
        weight2 += coins[i];
    for (int i = left + 2 * group; i <= right; i++)
        weight3 += coins[i];

    // 如果第一组与第二组重量不同，则假币在其中
    if (weight1 != weight2)
    {
        if (weight1 < weight2)
            return findFakeCoin(coins, left, left + group - 1);
        else
            return findFakeCoin(coins, left + group, left + 2 * group - 1);
    }
    // 如果第一组与第三组重量不同，则假币在其中
    else if (weight1 != weight3)
    {
        if (weight1 < weight3)
            return findFakeCoin(coins, left, left + group - 1);
        else
            return findFakeCoin(coins, left + 2 * group, right);
    }
    // 否则假币在第三组
    else
        return findFakeCoin(coins, left + 2 * group, right);
}

int main()
{
    int n, fake;
    cout << "请输入硬币数量：";
    cin >> n;
    cout << "请输入假币位置（从1开始）：";
    cin >> fake;

    int* coins = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (i == fake - 1)
            coins[i] = 1;  // 假币重量为1
        else
            coins[i] = 2;  // 其他硬币重量为2
    }

    int result = findFakeCoin(coins, 0, n - 1);
    cout << "假币在第" << result + 1 << "枚硬币处。" << endl;

    delete[] coins;
    return 0;
}

二、非递归算法设计

非递归算法可以使用栈来实现。首先将硬币的编号和范围入栈，当栈非空时进行循环操作。每次弹出栈顶元素，对该范围的硬币进行称重，并按照递归算法的方法进行处理。如果找到假币，则结束循环，否则将假币所在的范围入栈。

下面是非递归算法的代码实现：

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;

struct Range
{
    int left;  // 左端点
    int right;  // 右端点
};

int findFakeCoin(int coins[], int n)
{
    stack<Range> s;
    s.push({0, n - 1});  // 将初始范围入栈

    while (!s.empty())
    {
        Range r = s.top();
        s.pop();

        int left = r.left, right = r.right;
        if (left == right)  // 如果只有一枚硬币，则为假币
            return left;

        int group = (right - left + 1) / 3;  // 每组硬币数量

        // 分别称重三组硬币
        int weight1 = 0, weight2 = 0, weight3 = 0;
        for (int i = left; i <= left + group - 1; i++)
            weight1 += coins[i];
        for (int i = left + group; i <= left + 2 * group - 1; i++)
            weight2 += coins[i];
        for (int i = left + 2 * group; i <= right; i++)
            weight3 += coins[i];

        // 如果第一组与第二组重量不同，则假币在其中
        if (weight1 != weight2)
        {
            if (weight1 < weight2)
                s.push({left, left + group - 1});
            else
                s.push({left + group, left + 2 * group - 1});
        }
        // 如果第一组与第三组重量不同，则假币在其中
        else if (weight1 != weight3)
        {
            if (weight1 < weight3)
                s.push({left, left + group - 1});
            else
                s.push({left + 2 * group, right});
        }
        // 否则假币在第三组
        else
            s.push({left + 2 * group, right});
    }

    return -1;  // 没有找到假币
}

int main()
{
    int n, fake;
    cout << "请输入硬币数量：";
    cin >> n;
    cout << "请输入假币位置（从1开始）：";
    cin >> fake;

    int* coins = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (i == fake - 1)
            coins[i] = 1;  // 假币重量为1
        else
            coins[i] = 2;  // 其他硬币重量为2
    }

    int result = findFakeCoin(coins, n);
    if (result == -1)
        cout << "没有找到假币。" << endl;
    else
        cout << "假币在第" << result + 1 << "枚硬币处。" << endl;

    delete[] coins;
    return 0;
}

三、三分法优化算法

三分法的思想是将问题分成三个部分，每次舍弃不可能包含假币的部分。具体做法是，将n个硬币分成三个组，称重，如果第一组与第二组重量不同，则假币在其中。如果第一组与第二组重量相同，则假币在第三组中。然后对假币所在的组进行递归操作，直到只剩下一枚硬币。

下面是三分法的代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int findFakeCoin(int coins[], int left, int right)
{
    if (left == right)  // 如果只有一枚硬币，则为假币
        return left;

    int n = right - left + 1;  // 硬币数量
    int group = n / 3;  // 每组硬币数量

    // 分别称重三组硬币
    int weight1 = 0, weight2 = 0, weight3 = 0;
    for (int i = left; i <= left + group - 1; i++)
        weight1 += coins[i];
    for (int i = left + group; i <= left + 2 * group - 1; i++)
        weight2 += coins[i];
    for (int i = left + 2 * group; i <= right; i++)
        weight3 += coins[i];

    // 如果第一组与第二组重量不同，则假币在其中
    if (weight1 != weight2)
    {
        if (weight1 < weight2)
            return findFakeCoin(coins, left, left + group - 1);
        else
            return findFakeCoin(coins, left + group, left + 2 * group - 1);
    }
    // 否则假币在第三组
    else
        return findFakeCoin(coins, left + 2 * group, right);
}

int main()
{
    int n, fake;
    cout << "请输入硬币数量：";
    cin >> n;
    cout << "请输入假币位置（从1开始）：";
    cin >> fake;

    int* coins = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (i == fake - 1)
            coins[i] = 1;  // 假币重量为1
        else
            coins[i] = 2;  // 其他硬币重量为2
    }

    int result = findFakeCoin(coins, 0, n - 1);
    cout << "假币在第" << result + 1 << "枚硬币处。" << endl;

    delete[] coins;
    return 0;
}

比较算法性能：三分法是对递归算法的优化，可以减少递归的次数，因此在数据量较大时，三分法的效率会更高。不过在数据量较小的情况下，三分法和递归算法的效率差别不大。而非递归算法的效率取决于栈的大小，如果栈的大小过大，会导致程序占用过多的内存，因此在数据量较大时，非递归算法的效率可能会受到影响。