使用 matlab 分别实现基于 Givens 变换、Householder 变换的 QR分解

在MATLAB中，QR分解是一种常用的矩阵分解技术，它将矩阵A表示为Q乘以R的形式，其中Q是一个正交矩阵（列向量相互正交且长度为1），而R是一个上三角矩阵。Givens变换和Householder变换是两种常见的用于求解QR分解的方法。

**1. Givens变换实现QR分解**:
Givens变换是一种特定类型的旋转，用于消除矩阵对角线元素之外的部分。在MATLAB中，可以使用`qrfac`函数结合`givens`函数来实现，例如：

function [Q,R] = qr_givens(A)
    [Q,R] = qrfac(A); % 先做初步的QR分解
    for i = 1:size(A,1) - 1
        for j = i+1:size(A,2)
            [c,s] = givens(Q(i,:), Q(j,:)); % 计算Givens变换的系数
            Q(:,j:end) = c*Q(:,j:end) - s*Q(:,i:i-1);
            R(i,j:end) = c*R(i,j:end);
            R(i+1:end,j) = s*R(i+1:end,j);
        end
    end
end

这里，`givens`函数返回旋转矩阵的系数c和s，然后更新Q和R矩阵。

**2. Householder变换实现QR分解**:
Householder变换则使用反射矩阵来消除矩阵元素。MATLAB同样有内置函数`qr`可以处理这个过程，但如果需要手动实现，可以这样做：

function [Q,R] = qr_householder(A)
    n = size(A,1);
    R = A;
    for k = 1:n-1
        v = A(k:n,k); % 当前列向量
        norm_v = norm(v);
        if norm_v == 0
            break; % 如果v全零，跳过此行
        end
        v = v / norm_v; % 正规化
        H = eye(n) - 2 * v * v'; % 构造Householder反射矩阵
        R(k:end,:) = H * R(k:end,:);
        A(k:end,:) = H * A(k:end,:);
    end
    Q = A(1:k,:);
end