tikhonov正则化代码

### Tikhonov 正则化代码实现

Tikhonov正则化是一种用于防止过拟合的技术，在机器学习模型训练过程中通过向损失函数添加一个惩罚项来约束权重大小。对于线性回归问题，可以采用如下形式：

\[ J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 + \alpha\|\theta\|_2^2 \]

其中 \( h_\theta(x) \) 表示预测值，\( m \) 是样本数量，而 \( \alpha \) 控制着正则化的强度。

下面是一个简单的Python代码片段展示如何应用Tikhonov正则化到线性回归中[^2]:

import numpy as np

def tikhonov_regularization(X, y, alpha):
    """
    实现带有Tikhonov正则化的最小二乘法求解
    
    参数:
        X : 特征矩阵 (n_samples, n_features)
        y : 目标变量数组 (n_samples,)
        alpha : 正则化参数
        
    返回:
        theta : 计算得到的最佳系数 (n_features,)
    """

    # 添加偏置列
    ones = np.ones((X.shape[0], 1))
    X_b = np.hstack([ones, X])

    # 构建单位阵并移除对应于截距的第一行第一列
    identity_matrix = np.eye(X_b.shape[1])
    identity_matrix[0][0] = 0  

    # 使用正规方程计算最优θ
    theta_best = np.linalg.inv(
        X_b.T.dot(X_b) + alpha * identity_matrix).dot(X_b.T).dot(y)

    return theta_best

此代码实现了带L2范数(Tikhonov)正则化的线性回归模型，并且注意到偏置项未被正则化处理。