Tikhonov 正则化模型

### Tikhonov 正则化模型概述

Tikhonov正则化，也称为岭回归(Ridge Regression)，是一种广泛应用于线性回归中的正则化方法[^3]。该方法通过向损失函数中加入权重系数平方和的形式来惩罚过大的权值，从而防止模型过度拟合训练数据。

#### 数学表达形式

对于给定的数据集 \((X,y)\)，其中 \(X\) 是特征矩阵而 \(y\) 表示目标变量列向量，在标准线性回归下求解的是最小二乘法问题：

\[
\min_{w} \| X w - y \|^2_2
\]

而在引入了Tikhonov正则化的条件下，则变为如下优化问题:

\[
\min_w (\| X w - y \|^2_2 + \alpha \| w \|^2_2 )
\]

这里 \(\alpha>0\) 称作正则项强度参数，用来控制正则化的程度；当其取较大数值时会使得模型更加平滑，减少方差但可能增加偏差；反之较小的 \(\alpha\) 值会使模型更贴近原始数据，但也更容易发生过拟合现象[^1]。

import numpy as np
from sklearn.linear_model import Ridge

# 构建模拟数据
np.random.seed(42)
n_samples, n_features = 50, 20
X = np.random.randn(n_samples, n_features)
coef = 3 * np.random.rand(n_features)
inds = np.arange(n_features)
y = np.dot(X, coef)

# 添加噪声
y += 0.01 * np.random.normal(size=n_samples)

# 使用Ridge回归实现Tikhonov正则化
ridge = Ridge(alpha=1.0).fit(X, y)

print("Coefficients:", ridge.coef_)

此代码片段展示了如何利用 `scikit-learn` 库里的 `Ridge` 类来进行带有Tikhonov正则化的线性回归分析。在这个例子中，设置了一个相对较大的样本数量与特征维度，并加入了轻微随机扰动以模仿真实世界情况下的测量误差或不确定性因素的影响。