**结论**：gg 在 F_qF q ​ 上是不可约的，且其度数 dd 能整除 mm。为啥

在有限域 \( F_q \) 上，假设我们有一个多项式 \( g(x) \)，并且我们希望证明 \( g(x) \) 在 \( F_q \) 上是不可约的，并且其度数 \( d \) 能整除某个正整数 \( m \)。以下是详细的解释：

1. **不可约性**：
- 一个多项式 \( g(x) \) 在有限域 \( F_q \) 上不可约，意味着它不能被分解为更低次的多项式的乘积。
- 如果 \( g(x) \) 是可约的，那么它可以表示为 \( g(x) = f(x)h(x) \)，其中 \( f(x) \) 和 \( h(x) \) 是 \( F_q \) 上的多项式，且次数都小于 \( g(x) \) 的次数。
- 通过反证法，假设 \( g(x) \) 是可约的，那么它可以分解为两个次数较低的多项式的乘积，这与 \( g(x) \) 不可约的假设矛盾。

2. **度数整除 \( m \)**：
- 假设 \( g(x) \) 的次数为 \( d \)，即 \( g(x) \) 是一个 \( d \) 次多项式。
- 如果 \( g(x) \) 是 \( F_q \) 上的不可约多项式，那么根据有限域上的多项式理论，不可约多项式的次数必须整除 \( q^n - 1 \) 对于某个正整数 \( n \)。
- 如果我们假设 \( m \) 是 \( q^n - 1 \) 的一个因子，那么根据整除的性质，\( d \) 也必须整除 \( m \)。

综上所述，\( g(x) \) 在 \( F_q \) 上是不可约的，并且其度数 \( d \) 能整除 \( m \)。