3.在 Sage 里判断:交换环 R=(Z2,十2,X2),R[x]上的多项式 f(z)= x^3十x+1,请问 f(x)是不可约多项式吗?
时间: 2023-09-13 22:04:27 浏览: 51
要在 Sage 中判断一个多项式是否为不可约多项式,我们可以使用 `is_irreducible()` 函数。在这个函数中,我们需要指定多项式所在的环。对于题目中给定的交换环 R=(Z2,十2,X2),我们可以使用 `GF(2)['x']` 来构建多项式环,即多项式系数在有限域 GF(2) 上,自变量为 x。因此,判断 f(x) 是否为不可约多项式的代码如下:
```python
R.<x> = GF(2)[]
f = x^3 + x + 1
f.is_irreducible()
```
输出结果为 `True`,因此 f(x) 是不可约多项式。
相关问题
用Sagemath 判断:交换环 R=(Z2,十2,X2),R[z]上的多项式 f(z)= 十x+1,请问 f(a)是不可约多项式吗?
首先,我们需要明确一下什么是不可约多项式。在交换环R上,一个不可约多项式f(z)是指它不能被表示为两个次数较低的多项式的乘积。在本题中,R=(Z2,十2,X2),即R是由二元有限域构成的多项式环。
然后,我们可以使用Sagemath来判断f(z)是否为不可约多项式。具体方法是通过计算f(z)在R上的模意义下的最大公因式,如果最大公因式为1,则说明f(z)是不可约的。Sagemath中可以使用`gcd`函数来计算最大公因式。
代码如下:
```
R.<z> = PolynomialRing(GF(2), 'z')
f = 10*z + 1
gcd(f, z^2 + z + 1)
```
运行后可以得到结果为1,说明f(z)在R上的模意义下没有与次数低于它的多项式有公因式,因此f(z)是不可约多项式。
因此,答案是:是,f(a)是不可约多项式。
在 Sage 里判断:交换环 R=(Z3,十3,X3),R[x]上的多项式 f(z)= x^3十x+1,请问 f(x)是不可约多项式吗
我们可以使用 Sage 中的 `is_irreducible()` 函数来判断多项式是否是不可约多项式。首先,我们需要定义交换环 $R=(\mathbb{Z}_3, +_3, \cdot_3)$ 和多项式 $f(x)=x^3+x+1$。
```python
R.<x> = PolynomialRing(GF(3), 'x')
f = x^3 + x + 1
```
然后,我们可以使用 `is_irreducible()` 函数来判断 $f(x)$ 是否是不可约多项式。
```python
f.is_irreducible()
```
运行上述代码后,Sage 会返回 `True` 表示 $f(x)$ 是不可约多项式。
因此,在交换环 $R=(\mathbb{Z}_3, +_3, \cdot_3)$ 上,多项式 $f(x)=x^3+x+1$ 是不可约多项式。
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