采用参考点法增加帕累托前沿面多样性

### 使用参考点法提升帕累托前沿多样性的方法

在多目标优化中，为了增加帕累托最优解集的多样性，可以采用基于参考点的方法。该方法通过引入多个预定义的参考点来引导搜索过程，从而确保解分布在不同的区域。

#### 参考点的选择与分布
参考点通常位于目标空间内，并均匀散布于理想点和 nadir 点之间。这些参考点作为导向指标，帮助算法探索不同方向上的潜在优质解。这种方法能够有效防止所有解集中到某几个局部区域内[^1]。

#### 解向量与参考点关联策略
对于每一个候选解，计算其与各个参考点之间的距离度量。常用的距离度量方式包括加权欧氏距离或 Chebyshev 距离等。随后依据最小化原则选取最接近特定参考点的一个解作为代表个体参与进化操作。此过程中保持了种群成员对应各自独特参考点的关系不变，进而维持整个群体覆盖广泛的目标区间。

#### 多样性维护机制
除了利用参考点指导外，在选择下一代时还需加入额外措施保障多样性。例如实施拥挤比较算子（crowding distance），它会优先保留那些周围邻居较少即较为孤立的个体；又或是应用环境选择压力调整因子，动态调节各代间竞争强度以促进全局搜索能力的发展。

def calculate_distance(solution, reference_point):
    """ 计算解决方案到指定参考点的距离 """
    weights = [0.5, 0.5]  # 假设两个目标函数具有相同权重
    weighted_euclidean_dist = sum([(solution[i]-reference_point[i])**2 * weights[i] for i in range(len(solution))]) ** 0.5
    chebyshev_dist = max(abs(solution[i]-reference_point[i]) for i in range(len(solution)))
    
    return min(weighted_euclidean_dist, chebyshev_dist)

def associate_solution_to_reference_points(solutions, ref_points):
    associations = {}
    for sol in solutions:
        closest_ref_idx = None
        min_dist = float('inf')
        
        for idx, rp in enumerate(ref_points):
            dist = calculate_distance(sol.objectives, rp)
            
            if dist < min_dist:
                min_dist = dist
                closest_ref_idx = idx
                
        associations[sol.id] = (closest_ref_idx, min_dist)
        
    return associations