使用动态规划法三角形最大路径和问题的算法设计

动态规划是解决最优化问题的一种常用方法，三角形最大路径和问题可以用动态规划算法来求解。

假设我们用 $dp[i][j]$ 表示从三角形顶部到第 $i$ 行第 $j$ 列的最大路径和，那么状态转移方程为：

$$dp[i][j] = \max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]$$

其中，$triangle[i][j]$ 表示三角形第 $i$ 行第 $j$ 列的值。

根据状态转移方程，我们可以从第 $2$ 行开始，依次计算每个位置的最大路径和，最终得到 $dp[n][j]$ 中的最大值即为三角形的最大路径和，其中 $n$ 为三角形的行数。

具体实现时，可以使用一个二维数组 $dp$ 来记录状态，初始化 $dp[1][1] = triangle[1][1]$，然后从第 $2$ 行开始，对于每一行的每个位置，根据状态转移方程计算 $dp[i][j]$，最后遍历 $dp[n]$ 找到最大值即可。

下面是 Python 代码实现：

def max_path_sum(triangle):
    n = len(triangle)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(n+1)]
    dp[1][1] = triangle[0][0]
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(1, i+1):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i-1][j-1]
    return max(dp[n])

时间复杂度为 $O(n^2)$。