三维向量绕轴旋转公式

三维向量绕轴旋转的公式可以使用旋转矩阵来表示。假设我们有一个三维向量 𝐯 = [𝑥, 𝑦, 𝑧]，我们要绕一个单位向量 𝑎 = [𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧] 进行旋转。旋转后的向量记为 𝐯′ = [𝑥′, 𝑦′, 𝑧′]。
旋转公式如下：
𝐯′ = 𝐑𝐯
其中，𝐑 是一个 3x3 的旋转矩阵，它的表达式为：
𝐑 = 𝑅𝑥(𝜃)𝑅𝑦(𝜙)𝑅𝑧(𝜓)
其中，𝑅𝑥(𝜃)、𝑅𝑦(𝜙)、𝑅𝑧(𝜓) 分别是绕 x、y、z 轴旋转的矩阵，它们的表达式如下：
𝑅𝑥(𝜃) =
[ 1 0 0 ]
[ 0 cos(𝜃) -sin(𝜃) ]
[ 0 sin(𝜃) cos(𝜃) ]
𝑅𝑦(𝜙) =
[ cos(𝜙) 0 sin(𝜙) ]
[ 0 1 0 ]
[-sin(𝜙) 0 cos(𝜙) ]
𝑅𝑧(𝜓) =
[ cos(𝜓) -sin(𝜓) 0 ]
[ sin(𝜓) cos(𝜓) 0 ]
[ 0 0 1 ]
其中，𝜃、𝜙、𝜓 分别是绕 x、y、z 轴旋转的角度。
使用这个公式，我们可以将三维向量绕任意轴旋转。

相关问题

三维绕任意轴旋转矩阵

三维空间中绕任意轴旋转的矩阵推导
对于三维空间中的物体绕任意轴进行旋转，可以采用罗德里格斯公式来描述这种变换。该公式的表达形式如下：
给定单位向量 (\mathbf{k}=(k_x, k_y, k_z))，代表旋转轴的方向；以及角度(\theta)作为旋转的角度，则绕此轴逆时针方向上的旋转变换可由下述矩阵完成[^1]:
[ R = \cos\theta I + (1-\cos\theta) \mathbf{kk}^\top+\sin\theta[\mathbf{k}]_\times ]
其中 (I) 是3×3恒等矩阵；
([\mathbf{k}]_\times) 表示一个特殊的反对称矩阵，定义为:
[k]_×=| 0 -kz ky |
| kz 0 -kx|
|-ky kx 0 |

上述公式通过线性组合三个部分实现了完整的旋转操作：保持不变的部分（沿轴向分量）、拉伸/压缩效果和平移贡献。
具体到各个元素上，最终得到的旋转矩阵(R)具有以下结构:
[
R =
\begin{bmatrix}
\cos\theta+k_x^2(1-\cos\theta)& k_xk_y(1-\cos\theta)-k_z\sin\theta & k_xk_z(1-\cos\theta)+k_y\sin\theta\
k_yk_x(1-\cos\theta)+k_z\sin\theta& \cos\theta+k_y^2(1-k_x\sin\theta \
k_zk_x(1-\cos\theta)-k_y\sin\theta& k_zk_y(1-\cos\theta)+k_x\sin\theta & \cos\theta+k_z^2(1-\cos\theta)
\end{bmatrix}
]
这个矩阵能够有效地将任何矢量按照指定参数执行相应的几何转换。

C++通过旋转前后的三维向量坐标计算旋转矩阵

在C++中，为了计算三维空间中由两个向量确定的旋转变换所对应的旋转矩阵，可以使用二维欧拉角（如绕x、y、z轴的旋转）的概念。首先假设我们有两个三维向量，一个是旋转轴axis（通常是一个单位向量），另一个是旋转角度angle。

构建旋转矩阵:

对于绕x轴旋转的情况，可以使用绕x轴旋转的旋转矩阵公式:R_x = [1, 0, 0],
[0, cos(angle), -sin(angle)],
[0, sin(angle), cos(angle)]

绕y轴旋转则为：R_y = [cos(angle), 0, sin(angle)],
[ 0, 1, 0],
[-sin(angle), 0, cos(angle)]

绕z轴旋转的矩阵类似：R_z = [cos(angle), -sin(angle), 0],
[sin(angle), cos(angle), 0],
[ 0, 0, 1]

复合旋转:
如果需要组合多个轴的旋转，可以将单个旋转矩阵相乘得到最终的旋转矩阵。例如，如果你先绕x轴旋转，然后绕y轴，最后绕z轴，可以做为R = R_z * R_y * R_x。

// 假设已知axis, angle
glm::mat4 rotation_matrix = glm::rotate(glm::mat4(1.0f), angle, axis);

这里使用了GLM库来表示和处理旋转矩阵，因为它提供了一种方便的方式来创建和操作四元数或旋转矩阵。