已知三维空间中两不平行的向量a，b，求旋转矩阵R使得向量a经过旋转后与向量b平行

首先，我们可以通过叉乘得到垂直于a和b的向量n，即n=a×b。然后，我们可以通过将a和b归一化得到它们的单位向量a'和b'，即a'=a/|a|，b'=b/|b|。接下来，我们可以通过叉乘得到一个与n同方向的向量m，即m=n/|n|。这样，我们就得到了一个正交基{a', b', m}。

接下来，我们可以将向量a'旋转到与向量b'重合。为此，我们可以通过向量叉乘得到一个旋转轴u，即u=a'×b'。然后，我们可以通过向量点积得到a'和b'之间的夹角θ，即θ=acos(a'·b')。最后，我们可以通过罗德里格斯公式计算旋转矩阵R：

R = I + sin(θ) [u]x + (1-cos(θ))([u]x)^2

其中，[u]x是叉积矩阵，I是单位矩阵。

相关问题

已知一向量和该向量旋转后的向量，怎么求旋转矩阵

设原向量为v，旋转后的向量为v'，旋转矩阵为R，那么有：

v' = Rv

两边同乘R的逆矩阵R^-1：

R^-1v' = R^-1(Rv)

化简得：

R^-1v' = v

此时，我们已经得到了旋转前的向量v，以及旋转后的向量v'，可以通过求解线性方程组来求解旋转矩阵R，具体方法可以使用高斯消元法等求解线性方程组的方法来求解。

已知一向量和该向量旋转后的向量，怎么推导旋转矩阵

假设原始向量为 $v$，旋转后的向量为 $v'$，旋转矩阵为 $R$，则有：

$$v' = Rv$$

我们将 $v$ 和 $v'$ 展开成列向量的形式：

$$v=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},\quad v'=\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}$$

则有：

$$\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix} = R\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}r_{11} & r_{12} & r_{13}\\r_{21} & r_{22} & r_{23}\\r_{31} & r_{32} & r_{33}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}$$

展开后可得：

$$\begin{cases}x' = r_{11}x + r_{12}y + r_{13}z\\y' = r_{21}x + r_{22}y + r_{23}z\\z' = r_{31}x + r_{32}y + r_{33}z\end{cases}$$

我们已知 $v$ 和 $v'$，可以将它们代入上式，得到一个含有 $9$ 个未知数 $r_{ij}$ 的线性方程组，对其进行求解即可得到旋转矩阵 $R$。

需要注意的是，求解出来的矩阵 $R$ 不一定是唯一的，因为在三维空间中存在很多种不同的旋转方式。