求两个三维向量的旋转矩阵
时间: 2024-06-06 19:05:49 浏览: 63
设两个三维向量为 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$,它们之间的旋转矩阵为 $R$。
我们可以先通过叉乘求出一个单位向量 $\mathbf{w}$,使得 $\mathbf{u}$ 绕着 $\mathbf{w}$ 转到 $\mathbf{v}$ 的方向。具体来说,我们有:
$$\mathbf{w} = \frac{\mathbf{u} \times \mathbf{v}}{\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|}$$
然后,我们可以通过以下公式计算旋转矩阵 $R$:
$$
R = \begin{bmatrix}
\cos\theta + w_x^2(1-\cos\theta) & w_x w_y (1-\cos\theta) - w_z \sin\theta & w_x w_z (1-\cos\theta) + w_y \sin\theta \\
w_y w_x (1-\cos\theta) + w_z \sin\theta & \cos\theta + w_y^2(1-\cos\theta) & w_y w_z (1-\cos\theta) - w_x \sin\theta \\
w_z w_x (1-\cos\theta) - w_y \sin\theta & w_z w_y (1-\cos\theta) + w_x \sin\theta & \cos\theta + w_z^2(1-\cos\theta)
\end{bmatrix}
$$
其中,$\theta$ 是 $\mathbf{u}$ 绕着 $\mathbf{w}$ 转到 $\mathbf{v}$ 的方向所需的角度,可以通过以下公式计算:
$$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}\right)$$
其中,$\cdot$ 表示向量点积。