如何计算两个三维向量的旋转矩阵

假设有两个三维向量a和b，它们的长度相等，且它们之间的夹角为θ。我们可以通过以下步骤来计算它们的旋转矩阵：

1. 计算向量a和向量b的叉积c，即c = a × b。

2. 计算向量a和向量b的点积d，即d = a · b。

3. 构造一个3x3的矩阵M，其中M[0][0] = cosθ + (1-cosθ)*a[0]*a[0], M[0][1] = (1-cosθ)*a[0]*a[1] - sinθ*a[2], M[0][2] = (1-cosθ)*a[0]*a[2] + sinθ*a[1]，M[1][0] = (1-cosθ)*a[1]*a[0] + sinθ*a[2], M[1][1] = cosθ + (1-cosθ)*a[1]*a[1], M[1][2] = (1-cosθ)*a[1]*a[2] - sinθ*a[0]，M[2][0] = (1-cosθ)*a[2]*a[0] - sinθ*a[1], M[2][1] = (1-cosθ)*a[2]*a[1] + sinθ*a[0], M[2][2] = cosθ + (1-cosθ)*a[2]*a[2]。

4. 将矩阵M应用于向量c，即c' = Mc。

5. 如果d小于0，则将矩阵M中的第一列和第二列交换。

6. 将矩阵M的第三列设置为向量c'。

最终得到的矩阵M就是a到b的旋转矩阵。

相关问题

求两个三维向量的旋转矩阵

设两个三维向量为 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，它们之间的旋转矩阵为 $R$。

我们可以先通过叉乘求出一个单位向量 $\mathbf{w}$，使得 $\mathbf{u}$ 绕着 $\mathbf{w}$ 转到 $\mathbf{v}$ 的方向。具体来说，我们有：

$$\mathbf{w} = \frac{\mathbf{u} \times \mathbf{v}}{\|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\|}$$

然后，我们可以通过以下公式计算旋转矩阵 $R$：

$$
R = \begin{bmatrix}
\cos\theta + w_x^2(1-\cos\theta) & w_x w_y (1-\cos\theta) - w_z \sin\theta & w_x w_z (1-\cos\theta) + w_y \sin\theta \\
w_y w_x (1-\cos\theta) + w_z \sin\theta & \cos\theta + w_y^2(1-\cos\theta) & w_y w_z (1-\cos\theta) - w_x \sin\theta \\
w_z w_x (1-\cos\theta) - w_y \sin\theta & w_z w_y (1-\cos\theta) + w_x \sin\theta & \cos\theta + w_z^2(1-\cos\theta)
\end{bmatrix}
$$

其中，$\theta$ 是 $\mathbf{u}$ 绕着 $\mathbf{w}$ 转到 $\mathbf{v}$ 的方向所需的角度，可以通过以下公式计算：

$$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}\right)$$

其中，$\cdot$ 表示向量点积。

C++通过旋转前后的三维向量坐标计算旋转矩阵

在C++中，为了计算三维空间中由两个向量确定的旋转变换所对应的旋转矩阵，可以使用二维欧拉角（如绕x、y、z轴的旋转）的概念。首先假设我们有两个三维向量，一个是旋转轴`axis`（通常是一个单位向量），另一个是旋转角度`angle`。

1. **构建旋转矩阵**:
- 对于绕x轴旋转的情况，可以使用绕x轴旋转的旋转矩阵公式:

     R_x = [1,         0,          0],
           [0, cos(angle), -sin(angle)],
           [0, sin(angle),  cos(angle)]

- 绕y轴旋转则为：

     R_y = [cos(angle), 0, sin(angle)],
           [        0, 1,         0],
           [-sin(angle), 0, cos(angle)]

- 绕z轴旋转的矩阵类似：

     R_z = [cos(angle), -sin(angle), 0],
           [sin(angle),  cos(angle), 0],
           [         0,            0, 1]

2. **复合旋转**:
如果需要组合多个轴的旋转，可以将单个旋转矩阵相乘得到最终的旋转矩阵。例如，如果你先绕x轴旋转，然后绕y轴，最后绕z轴，可以做为R = R_z * R_y * R_x。

// 假设已知axis, angle
glm::mat4 rotation_matrix = glm::rotate(glm::mat4(1.0f), angle, axis);

这里使用了GLM库来表示和处理旋转矩阵，因为它提供了一种方便的方式来创建和操作四元数或旋转矩阵。