x/(x^3+1)求积分的收散性 用comparison theorem
时间: 2024-05-31 10:08:28 浏览: 15
我们需要比较给定的函数的收敛性或发散性。为此,我们可以使用比较定理,该定理可以将一个函数与另一个函数进行比较,以确定其收敛性或发散性。
考虑函数f(x) = x/(x^3 + 1)和g(x) = 1/x^2。我们需要比较f(x)和g(x)的收敛性。
首先,我们注意到f(x)和g(x)都是正函数,因为它们的分子和分母都是正的。此外,对于所有x > 0,我们有:
f(x) ≤ g(x)
这是因为在分母中,x^3 + 1 > x^3,因此:
x/(x^3 + 1) < x/x^3 = 1/x^2
因此,我们可以使用比较定理得出结论,即如果g(x)收敛,则f(x)也必须收敛。由于g(x)是一个已知的幂函数,我们可以使用p-测试来确定它的收敛性。
p-测试告诉我们,如果p > 1,则∫(1,∞)(1/x^p)dx是收敛的。在这种情况下,p = 2,因此:
∫(1,∞)(1/x^2)dx = lim(t→∞) (-1/t + 1/1) = 1
由于g(x)是收敛的,我们可以使用比较定理得出结论,即f(x)也是收敛的。因此,∫(1,∞)(x/(x^3 + 1))dx是收敛的。
相关问题
arctan(x)/(2+e^x)求积分的收散性 用comparison theorem
我们可以使用比较定理来判断该积分的收敛性或发散性。考虑下面的不等式:
$\left|\frac{\arctan(x)}{2+e^x}\right| \leq \frac{\pi/2}{2+e^x}$
我们知道,$\frac{\pi/2}{2+e^x}$是收敛的,因为分母的增长速度比分子快。因此,根据比较定理,该积分也是收敛的。
1/(sqrt(x)*e^x)求在0到1上的积分的收散性 用comparison theorem
首先,我们需要确定该积分是否收敛或发散。可以使用比较定理来判断。
考虑一个比较函数g(x) = 1/sqrt(x),则对于0<x<1,我们有:
1/(sqrt(x)*e^x) <= g(x)/e^x
因为g(x)在0到1之间是收敛的,而e^x在整个实数轴上都是收敛的,因此我们可以使用比较定理来判断该积分的收敛性。
根据比较定理,如果存在一个收敛的函数f(x),使得对于0<x<1,有f(x) <= 1/(sqrt(x)*e^x),那么该积分也是收敛的。
考虑函数f(x) = 1/sqrt(x),则对于0<x<1,我们有:
f(x) = 1/sqrt(x) <= 1/(sqrt(x)*e^x)
因此,根据比较定理,原积分收敛。
综上所述,该积分在0到1上收敛。
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