x/(x^3+1)求积分的收散性 用comparison theorem

我们需要比较给定的函数的收敛性或发散性。为此，我们可以使用比较定理，该定理可以将一个函数与另一个函数进行比较，以确定其收敛性或发散性。

考虑函数f(x) = x/(x^3 + 1)和g(x) = 1/x^2。我们需要比较f(x)和g(x)的收敛性。

首先，我们注意到f(x)和g(x)都是正函数，因为它们的分子和分母都是正的。此外，对于所有x > 0，我们有：

f(x) ≤ g(x)

这是因为在分母中，x^3 + 1 > x^3，因此：

x/(x^3 + 1) < x/x^3 = 1/x^2

因此，我们可以使用比较定理得出结论，即如果g(x)收敛，则f(x)也必须收敛。由于g(x)是一个已知的幂函数，我们可以使用p-测试来确定它的收敛性。

p-测试告诉我们，如果p > 1，则∫(1,∞)(1/x^p)dx是收敛的。在这种情况下，p = 2，因此：

∫(1,∞)(1/x^2)dx = lim(t→∞) (-1/t + 1/1) = 1

由于g(x)是收敛的，我们可以使用比较定理得出结论，即f(x)也是收敛的。因此，∫(1,∞)(x/(x^3 + 1))dx是收敛的。

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arctan(x)/(2＋e^x)求积分的收散性 用comparison theorem

我们可以使用比较定理来判断该积分的收敛性或发散性。考虑下面的不等式：

$\left|\frac{\arctan(x)}{2+e^x}\right| \leq \frac{\pi/2}{2+e^x}$

我们知道，$\frac{\pi/2}{2+e^x}$是收敛的，因为分母的增长速度比分子快。因此，根据比较定理，该积分也是收敛的。

在Matlab中画出f(x)=1/(1+ⅇ^(-x) )和Tanh(x)=(e^x-ⅇ^(-x))/(ⅇ^x+ⅇ^(-x) )=2f(2x)-1这两个函数在一个坐标轴的图像

可以使用Matlab中的`ezplot`函数来画出这两个函数的图像。具体实现方法如下：

% 定义函数
f = @(x) 1./(1+exp(-x));
tanh = @(x) (exp(x)-exp(-x))./(exp(x)+exp(-x));

% 绘制函数图像
figure;
ezplot(f,[-5,5]);
hold on;
ezplot(tanh,[-5,5]);

% 设置图例和标题
legend('f(x)','Tanh(x)');
title('Functions Comparison');

运行上述代码，就能够得到如下的函数图像：