三、递增子序列问题 【问题描述】 小明最近对数列特别感兴趣，尤其想研究一个数列中有多少个长度为k的递增子序列。一个序列<a_1… a_n>的子序列定义为<a_(i_1 )…a_(i_l )>，其中1≤i_1≤i_l≤n。 如果a_(i_(j-1) )<a_(i_j ),且所有1<j≤l，则子序列<a_(i_1 )…a_(i_l )>为递增子序列。 小明想请你帮忙计算数列中长度为k的递增子序列个数。 【输入形式】 输入包含1组测试用例。每组测试用例中第一行包含两个数字n和k(1≤k≤n≤100)，其中n为数列长度，k为要计算的递增子序列长度。 接下来一行包括n个不同的整数a_i (-10000≤a_i≤10000)，其中a_i是数列中的第i个数字。 【输出形式】 对于每组测试用例，输出一行输入序列包含的长度为k的递增子序列的数目。 【样例输入】 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【样例输出】 252

【问题分析】
这是一个典型的动态规划问题。我们可以用dp[i][j]表示以第i个数结尾的长度为j的递增子序列个数。那么dp[i][j]可以由dp[m][j-1]推导出来，其中m<i且a[m]<a[i]。最终答案就是dp[n][k]的和。接下来我们具体分析一下如何计算dp[i][j]。

【算法步骤】
1. 初始化dp数组为0，长度为n+1行k+1列。
2. 遍历序列中的每个数a[i]，计算dp[i][j]。
- 初始化dp[i][1]=1，表示以第i个数结尾的长度为1的递增子序列个数为1。
- 遍历前面的所有数a[m]，如果a[m]<a[i]，则dp[i][j]+=dp[m][j-1]。
3. 计算答案sum，即sum=dp[n][k]的和。
4. 输出sum。

【算法实现】

def count_increasing_subsequences(n, k, nums):
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][1] = 1
        for j in range(2, k + 1):
            for m in range(1, i):
                if nums[m] < nums[i]:
                    dp[i][j] += dp[m][j - 1]
    sum = 0
    for i in range(1, n + 1):
        sum += dp[i][k]
    return sum

# 读取输入
n, k = map(int, input().split())
nums = list(map(int, input().split()))

# 调用函数计算结果并输出
print(count_increasing_subsequences(n, k, nums))

【复杂度分析】
- 时间复杂度：O(n^2 * k)，其中n为数列长度，k为递增子序列长度。由于有三重循环，每个循环的次数最多为n，因此总的时间复杂度为O(n^3)。
- 空间复杂度：O(n * k)，需要一个二维数组dp来存储中间结果。