请用中文回答这道题： Let Xn ={1,2,...} be a sequence of independent random variables P ( Xn =0)=2/3, P ( Xn =1)=1/3. Let Yn =】= Xi .( a ) Find the first order p . f . of Yn . ( b ) Find uy ( n ), Ry ( n , n + k ) and Cy ( n , n + k ).

好的，让我来回答这个问题。这道题给出了一个无限长的随机变量序列Xn，其中Xn是一个取值为0或1的离散随机变量，取0的概率为2/3，取1的概率为1/3。同时，定义Yn为X1到Xn的和。现在有两个问题：

(a) 求Yn的一阶概率函数。

(b) 求Yn的均值、自协方差和自相关函数。

对于第一个问题，我们可以通过计算概率的方式得到Yn的一阶概率函数。因为Xn是独立同分布的，所以Yn也是一个独立同分布的随机变量，可以通过对Xn的概率分布进行卷积得到Yn的概率分布。具体来说，如果我们定义P(Yn=k)表示Yn等于k的概率，那么有：

P(Yn=k) = P(X1+X2+...+Xn=k)

= ∑ P(X1+X2+...+Xn=k|Xn=i)P(Xn=i)

= P(X1+X2+...+Xn-1=k)P(Xn=0) + P(X1+X2+...+Xn-1=k-1)P(Xn=1)

= P(Yn-1=k) * 2/3 + P(Yn-1=k-1) * 1/3

= (2/3)P(Yn-1=k) + (1/3)P(Yn-1=k-1)

因此，Yn的一阶概率函数为：

P(Yn=k) = (2/3)P(Yn-1=k) + (1/3)P(Yn-1=k-1)，其中P(Y0=0)=1。

对于第二个问题，我们需要计算Yn的均值、自协方差和自相关函数。首先，由于Xn的期望为1/3，所以Yn的期望为n/3。其次，我们有：

Ry(n,n+k) = E[(Yn-E(Yn))(Yn+k-E(Yn))]

= E[YnYn+k] - E[Yn]E[Yn+k]

= E[X1X2...XnXn+1...Xn+k] - (n/3)(n/3+k)

= E[X1X2...Xn]E[Xn+1...Xn+k] - (n/3)(n/3+k)

= (1/3)^n * (2/3)^k * (1/3)^k * C(n,k) - (n/3)(n/3+k)

其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。最后，我们可以通过Ry(n,n+k)计算出Cy(n,n+k)，即：

Cy(n,n+k) = Ry(n,n+k) / Ry(n,n) = [(1/3)^k * C(n,k) - (n/3)(n/3+k)] / (n/9)