python求GM（1，1）模型的极比偏差

### 回答1：
GM(1,1)模型的极比偏差为 $C = \frac{1}{2}(e^{\lambda}-1)^2 \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}(x_i)}$，其中 $n$ 为原始数据序列的长度，$x_i$ 为原始数据序列中第 $i$ 个数据，$e^{\lambda}$ 是灰色预测模型中的发展系数。

具体步骤如下：

1. 对原始数据进行一次累加，得到 $x^{(1)}$ 序列；

2. 计算发展系数 $e^{\lambda}$，公式为 $e^{\lambda} = \frac{x^{(1)}(n)}{x^{(1)}(1)}$；

3. 计算极比偏差 $C$，公式为 $C = \frac{1}{2}(e^{\lambda}-1)^2 \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}(x_i)}$。

下面是一个简单的 Python 代码实现：

import numpy as np

def GM11(x):
    n = len(x)
    x1 = np.cumsum(x)
    z = (x1[:-1] + x1[1:]) / 2.0
    B = np.vstack((-z, np.ones_like(z))).T
    Y = x[1:].reshape((-1, 1))
    u = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(B.T, B)), B.T), Y)
    a, b = u.flatten()
    Xn = np.zeros(n)
    Xn[0] = x[0]
    for i in range(1, n):
        Xn[i] = (x[0] - b / a) * np.exp(-a * i) + b / a
    e = np.abs(x - Xn) / x
    C = 0.5 * ((np.exp(a) - 1)**2) * n / np.sum(x)
    return Xn, e, C

其中，`x` 为原始数据序列，返回值包括预测值序列 `Xn`、相对误差序列 `e` 和极比偏差 `C`。

### 回答2：
GM(1,1)模型是一种基于灰色理论的时间序列预测方法，适用于具有线性累加趋势的数据。在GM(1,1)模型中，极比偏差用于衡量模型预测结果与实际观测值之间的差异性。

首先，我们需要通过紧邻均值生成序列来构建GM(1,1)模型。然后，根据构建的模型进行预测，并计算预测值与实际观测值的相对偏差。

极比偏差的计算公式为：

极比偏差 = |预测值 - 实际观测值| / 实际观测值

其中，|...| 表示绝对值。

假设预测值为P，实际观测值为O，则极比偏差为：

极比偏差 = |P - O| / O

极比偏差的值越小，表示预测值与实际观测值的相对偏差越小，模型的预测效果越好。

需要注意的是，极比偏差只能用于衡量模型对一次性累加趋势的数据的预测能力，并不能同时用于其他类型的数据。在实际应用中，通常需要结合其他评价指标来全面评估模型的预测性能。

### 回答3：
GM(1,1)模型是一种用于预测和分析时间序列数据的灰色系统模型，其核心思想是基于灰色关联度的季节性调整。该模型可以用于对趋势性数据进行预测和分析。GM(1,1)模型的极比偏差是模型检验的一种指标，用于评估模型预测结果与实际值之间的偏差程度。

求GM(1,1)模型的极比偏差的具体步骤如下：
1. 将原始数据进行一次累加得到累加数据：$X^{(1)}(k)=\sum\limits_{i=1}^{k}X(i)$。
2. 计算累加数据的均值：$X^{(1)}(k)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X^{(1)}(i)$。
3. 计算相邻两项的矩阵：$B=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}(X^{(1)}(1)+X^{(1)}(2)) & X^{(1)}(1) & 1\\- \frac{1}{2}(X^{(1)}(2)+X^{(1)}(3)) & X^{(1)}(2) & 1\\ \vdots & \vdots & \vdots\\- \frac{1}{2}(X^{(1)}(n-1)+X^{(1)}(n)) & X^{(1)}(n-1) & 1\end{bmatrix}$。
4. 计算B的广义逆矩阵：$B^+=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1n}\\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{nn}\end{bmatrix}$。
5. 计算模型的预测值：$\hat{X}(k+1)=\hat{x}_{1}(k+1)=\hat{x}_{0}(k)e^{-\lambda k}$。
6. 计算模型的偏差值：$\varepsilon(k)=\frac{X(k)-\hat{X}(k)}{X(k)} \times 100\%$。
7. 计算极比偏差：$D=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\varepsilon(k)$。

通过以上步骤，可以得到GM(1,1)模型的极比偏差值D。极比偏差是判断模型预测精度的重要指标，其数值越小说明模型的预测结果与实际值的偏差越小，反之则相反。