在F2上,设f(x)=x^3+x^2+1. 求f(x)的分裂域 E. 在E上将f(x)分解为一次因式的乘积.
时间: 2023-10-16 16:08:15 浏览: 62
在F2上,f(x) = x^3 + x^2 + 1。为了求f(x)的分裂域E,我们需要找到f(x)的一个根α,然后构造扩域F2[α],直到f(x)在扩域F2[α]上分解为一次因式的乘积。
因为f(0) = 1,所以0不是f(x)的根。我们可以尝试计算f(x)在F2上的值表,以找到一个可能的根。
x | f(x)
--|-----
0 | 1
1 | 1
2 | 0
从值表可以看出,x = 2 可能是f(x)的一个根。因为f(2) = 0,所以2是f(x)的一个根。
现在我们需要构造扩域F2[2],即由F2和2组成的最小域扩张。因为2是f(x)的根,我们需要添加一个元素α,使得α^3 + α^2 + 1 = 0。我们可以将α表示为α = a0 + a1*2 + a2*2^2,其中a0、a1、a2∈F2。
将α代入方程α^3 + α^2 + 1 = 0,展开并化简得到:
a2 + a1 + a0 = 1
a2 + a0 = 1
a2 + a1 = 0
解得a0 = 1,a1 = 1,a2 = 0。因此,α = 1 + 2 + 0*2^2 = 3。
扩域F2[2] = {0, 1, 2, 3},其中3是f(x)的一个根。我们需要找到f(x)的其他两个根,以便将其分解为一次因式的乘积。
我们可以将f(x)除以x - 2,得到商式g(x)和余式h(x):
f(x) = (x - 2)g(x) + h(x)
因为2是f(x)的一个根,所以h(2) = 0。我们可以计算h(x)在F2[3]上的值表:
x | h(x)
--|-----
0 | 1
1 | 1
2 | 0
3 | 1
从值表可以看出,x = 1 和 x = 3 是h(x)的根。因此,f(x)在F2[3]上可以分解为:
f(x) = (x - 2)(x - 1)(x - 3)
这是f(x)在F2[3]上的一次因式分解。