下推自动机构造文法

下推自动机是一种用于识别上下文无关文法的自动机。构造下推自动机需要先构造一个等价的上下文无关文法，然后根据文法规则构造状态转换函数和栈操作函数。

下面是一个例子，假设我们要构造下推自动机来识别如下文法：

S -> AB
A -> aA | ε
B -> bB | c

首先，我们需要将文法转换为 Chomsky 形式，即每个产生式要么是一个终结符号，要么是两个非终结符号的组合。将上面的文法转换为 Chomsky 形式后得到：

S -> A B
A -> a A | ε
B -> b B | c
A -> a
B -> b
B -> c

接下来，我们可以使用以下步骤构造下推自动机：

1. 将起始符号 S 压入栈中，并将状态设为 0。
2. 读入输入串的第一个字符，如果是终结符号则将其与栈顶元素进行匹配，如果匹配成功则弹出栈顶元素并读入下一个字符；如果匹配失败则自动机拒绝该串。
3. 如果读入的字符是非终结符号，则根据当前状态和读入字符查找状态转换表，该表可以使用一个二元组 (state, input) 表示，其中 state 表示当前状态，input 表示读入的字符。如果找到了匹配的转换，则将栈顶元素弹出，并将该转换的目标状态和操作符压入栈中；如果找不到匹配的转换，则自动机拒绝该串。
4. 如果读入的字符是结束符号，则检查栈是否为空，如果为空则自动机接受该串，否则自动机拒绝该串。

在这个例子中，我们可以构造如下的状态转换表和栈操作函数：

状态转换表：

| 状态 | 输入 | 目标状态 |
| ---- | ---- | -------- |
| 0 | a | 1 |
| 0 | b | null |
| 0 | c | 2 |
| 1 | a | 1 |
| 1 | b | 3 |
| 1 | c | null |
| 2 | a | null |
| 2 | b | 2 |
| 2 | c | null |
| 3 | a | null |
| 3 | b | 3 |
| 3 | c | null |

栈操作函数：

| 状态 | 输入 | 栈操作 |
| ---- | ---- | --------- |
| 0 | a | push(A, 1)|
| 0 | b | reject |
| 0 | c | push(B, 2)|
| 1 | a | push(A, 1)|
| 1 | b | push(B, 3)|
| 1 | c | reject |
| 2 | a | reject |
| 2 | b | push(B, 2)|
| 2 | c | reject |
| 3 | a | reject |
| 3 | b | push(B, 3)|
| 3 | c | reject |

根据上述状态转换表和栈操作函数，我们可以构造出一个下推自动机。例如，对于输入串 "aabbcc"，下推自动机的状态转移过程如下：

| 状态 | 输入 | 栈 |
| ---- | ---- | ------------ |
| 0 | a | A |
| 1 | a | AA |
| 1 | b | A |
| 3 | b | B |
| 3 | c | ε |
| 2 | c | B |
| 2 | $ | ε |

在最后一个状态中，栈为空，因此输入串被接受。