当p等于1和2时如何具体展开矩阵的p范数
时间: 2024-01-27 21:05:26 浏览: 26
当$p=1$时,矩阵的$p$范数可以用列向量的模长之和表示,即
$$
\left\|A\right\|_1 = \max_{1 \leq j\leq n} \sum_{i=1}^{m} \left|a_{ij}\right| = \sum_{j=1}^{n} \left\|A_{:,j}\right\|_1
$$
其中,$A_{:,j}$表示矩阵$A$的第$j$列。也就是说,矩阵的$p=1$范数等于所有列向量模长之和的最大值。
当$p=2$时,矩阵的$p$范数可以用奇异值分解表示,即
$$
\left\|A\right\|_2 = \max_{x\neq0} \frac{\left\|Ax\right\|_2}{\left\|x\right\|_2} = \sigma_1
$$
其中,$\sigma_1$为矩阵$A$的最大奇异值。此外,还有一种简单的计算方式:$\left\|A\right\|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$,其中$\lambda_{\max}$表示矩阵$A^TA$的最大特征值。
相关问题
矩阵的p范数在p等于1和2时分别具体求法
当p=1时,矩阵的p范数也叫做矩阵的列和范数,它的定义为矩阵中所有列绝对值之和的最大值。具体求法如下:
$$
\|A\|_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|
$$
当p=2时,矩阵的p范数也叫做矩阵的谱范数,它的定义为矩阵的所有特征值的平方和的平方根。具体求法如下:
$$
\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}
$$
其中,$\lambda_{\max}(A^TA)$表示矩阵$A^TA$的最大特征值。
用MATLAB计算矩阵的m1,m2和几何平均范数
假设有一个矩阵A,可以使用MATLAB计算矩阵的m1范数、m2范数和几何平均范数的方法如下:
```matlab
% 定义矩阵A
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
% 计算m1范数
m1_norm = norm(A, 1);
% 计算m2范数
m2_norm = norm(A, 2);
% 计算几何平均范数
geo_mean_norm = nthroot(det(A*A'), numel(A));
```
其中,`norm(A, 1)`表示计算A的m1范数,`norm(A, 2)`表示计算A的m2范数,`det(A*A')`表示计算A*A'的行列式,`numel(A)`表示A中元素的个数,`nthroot`表示计算n次方根。