当p等于1和2时如何具体展开矩阵的p范数
时间: 2024-01-27 22:05:26 浏览: 28
当$p=1$时,矩阵的$p$范数可以用列向量的模长之和表示,即
$$
\left\|A\right\|_1 = \max_{1 \leq j\leq n} \sum_{i=1}^{m} \left|a_{ij}\right| = \sum_{j=1}^{n} \left\|A_{:,j}\right\|_1
$$
其中,$A_{:,j}$表示矩阵$A$的第$j$列。也就是说,矩阵的$p=1$范数等于所有列向量模长之和的最大值。
当$p=2$时,矩阵的$p$范数可以用奇异值分解表示,即
$$
\left\|A\right\|_2 = \max_{x\neq0} \frac{\left\|Ax\right\|_2}{\left\|x\right\|_2} = \sigma_1
$$
其中,$\sigma_1$为矩阵$A$的最大奇异值。此外,还有一种简单的计算方式:$\left\|A\right\|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$,其中$\lambda_{\max}$表示矩阵$A^TA$的最大特征值。
相关问题
矩阵的p范数在p等于1和2时分别具体求法
当p=1时,矩阵的p范数也叫做矩阵的列和范数,它的定义为矩阵中所有列绝对值之和的最大值。具体求法如下:
$$
\|A\|_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^{m}|a_{ij}|
$$
当p=2时,矩阵的p范数也叫做矩阵的谱范数,它的定义为矩阵的所有特征值的平方和的平方根。具体求法如下:
$$
\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}
$$
其中,$\lambda_{\max}(A^TA)$表示矩阵$A^TA$的最大特征值。
矩阵2范数和谱范数啥关系
矩阵2范数和谱范数都是用来衡量矩阵大小的指标,但它们的计算方式不同。
矩阵2范数(也称为矩阵的Frobenius范数)是将矩阵中所有元素的平方和开平方,即 $||A||_F = \sqrt{\sum_{i,j}a_{ij}^2}$。它可以看做是将矩阵展开为一个向量后的欧几里得范数。
而谱范数(也称为矩阵2范数或者算子范数)是指矩阵的最大奇异值,即 $||A||_2 = \sigma_{\max}(A)$。它可以看做是将矩阵看作一个线性变换后的最大缩放因子。
因此,两者有一定的关系,即 $||A||_2 \leq ||A||_F \leq \sqrt{n} ||A||_2$,其中 $n$ 是矩阵的维度。具体而言,由于 $||A||_F$ 考虑了矩阵所有元素的大小,因此一般来说 $||A||_F$ 比 $||A||_2$ 更大;而 $||A||_2$ 考虑的是矩阵的线性变换性质,因此更能反映矩阵的重要信息。
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