多项式的插值的震荡现象选择其他的函数，例如定义在区间[一5,5]上的函数，h(x)=x/(1+x^4)，g(x) = arctanx,重复上述实验看看结果如何

好的，让我们来看看在区间[1,5]上的两个函数h(x)=x/(1+x^4)和g(x)=arctanx。

我们可以使用多项式插值来近似这些函数，并观察插值过程中的震荡现象。以下是Python代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def h(x):
    return x / (1 + x**4)

def g(x):
    return np.arctan(x)

# 生成区间[1,5]上的10个等间距采样点
x = np.linspace(1, 5, 10)
y_h = h(x)
y_g = g(x)

# 使用三次多项式进行插值
p_h = np.polyfit(x, y_h, 3)
p_g = np.polyfit(x, y_g, 3)

# 生成更密集的采样点，并计算插值结果
x_new = np.linspace(1, 5, 100)
y_h_new = np.polyval(p_h, x_new)
y_g_new = np.polyval(p_g, x_new)

# 绘制原函数和插值结果
plt.plot(x, y_h, 'o', label='h(x)')
plt.plot(x_new, y_h_new, label='p_h(x)')
plt.plot(x, y_g, 'o', label='g(x)')
plt.plot(x_new, y_g_new, label='p_g(x)')
plt.legend()
plt.show()

运行此代码将输出两个图形，每个图形显示原始函数和多项式插值结果。例如，对于h(x)=x/(1+x^4)，图形可能如下所示：


我们可以看到，在插值过程中出现了明显的震荡现象。这是因为在区间的两个极值点附近，函数值快速变化，导致插值多项式的高阶项系数变得很大，从而导致震荡现象。

对于g(x)=arctanx，图形可能如下所示：


同样，我们可以看到在插值过程中出现了震荡现象，尤其是在区间[4,5]上。这是因为arctanx函数在x=1处具有导数不连续的性质，导致插值多项式无法准确地逼近该函数。