多维联合概率密度函数

### 多维联合概率密度函数

#### 定义
对于多个随机变量 \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) 的多维联合概率密度函数描述了这些随机变量共同取特定值的概率密度。如果存在一个非负可积函数 \(f_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n)\)，使得对于任意一组实数 \(a_i < b_i (i=1,...,n)\)，有：

\[
P(a_1<X_1<b_1,a_2<X_2<b_2,\cdots , a_n<X_n<b_n)=\int _{a_n}^{b_n}\cdots \int _{a_2}^{b_2}\int _{a_1}^{b_1} f_{X_1,\ldots,X_n}(x_1,\ldots,x_n)dx_1...dx_n,
\]

则称此函数为这组随机变量的联合概率密度函数。

#### 公式
设二维连续型随机向量 \((X,Y)\) 的联合概率密度函数记作 \(f(x,y)\)，那么它满足如下性质：
- 对于所有的 \(x\) 和 \(y\)，\(f(x,y)≥0\)[^2]；
- 整个平面上该函数下的体积等于1，即 \(\iint_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dxdy=1\);
- 若区域D位于xy平面内，则事件 “点(X,Y)落在D中”的概率可以通过下面的方式计算得到\[ P[(X,Y)\in D]=\iint_D f(x,y)dxdy.\]

#### 示例
考虑两个独立的标准正态分布随机变量 \(Z_1,Z_2~N(0,1)\),其联合概率密度函数可以写作:

import numpy as np
from scipy.stats import multivariate_normal

mean = [0, 0]
covariance_matrix = [[1, 0], [0, 1]]
rv = multivariate_normal(mean, covariance_matrix)

def joint_pdf(z1, z2):
    return rv.pdf([z1, z2])

print(joint_pdf(-1.96, 1.96))

这段代码创建了一个均值为零、协方差矩阵是对角线元素均为1（意味着两者相互独立）的二元高斯分布对象 `rv` ，并定义了一个接受两个参数作为输入返回对应位置处联合PDF值的方法 `joint_pdf()` 。最后打印出了当 \(Z_1=-1.96\) 及 \(Z_2=1.96\) 时对应的联合概率密度值[^3]。