联合概率密度函数表达式

联合概率密度函数描述的是对于一个多维随机向量，其各个维度上的随机变量共同取特定值的可能性大小。当涉及到两个或者更多连续型随机变量时，可以定义一个联合概率密度函数$f(x, y)$来表示这些随机变量同时发生的可能性。

对于二维情况下的联合概率密度函数$f_{X,Y}(x,y)$来说，满足以下性质：

- 对于所有的$x$和$y$，有$f_{X,Y}(x,y) \geq 0$

- 积分等于1：$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = 1$$

- 如果存在某个区域$A$，那么$(X,Y)$落在这个区域内（即事件$\{(X,Y) \in A\}$发生）的概率可以通过下面的双重积分计算得到：
$$P((X,Y) \in A)=\iint_A f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.$$

若要从联合分布中获得边缘分布，比如只关心其中一个随机变量的分布而不考虑其他随机变量的影响，可以通过对另一个变量进行积分的方式获取边际概率密度函数。例如，为了找到关于$X$的边际概率密度函数$f_X(x)$，需要执行如下操作：
$$f_X(x) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}y.$$

同样地，也可以通过类似的方法求得给定条件下的条件概率密度函数。假设想要知道在已知$Y=y$的情况下$X=x$的条件概率密度函数$f_{X|Y}(x|y)$，则可以用下述公式表达：
$$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)},$$
其中$f_Y(y)$是$Y$的边际概率密度函数。