Z=X^2-2XY的概率密度函数

首先，需要确定随机变量的定义域。由于函数中没有限制条件，可以认为X和Y是定义在整个实数域上的连续随机变量。

接下来，可以通过求偏导数得到X和Y的联合概率密度函数：
$$
\begin{aligned}
f_{X,Y}(x,y) &= \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} F_{X,Y}(x,y) \\
&= \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} P(X \leq x, Y \leq y) \\
&= \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f_{X,Y}(u,v) dvdu \\
&= \frac{\partial}{\partial x} \int_{-\infty}^y f_{X,Y}(x,v)dv + \frac{\partial}{\partial y} \int_{-\infty}^x f_{X,Y}(u,y)du + \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f_{X,Y}(u,v) dvdx \\
&= f_{X,Y}(x,y)
\end{aligned}
$$
其中，$F_{X,Y}(x,y)$表示联合分布函数，$f_{X,Y}(x,y)$表示联合概率密度函数。

由于Z是X和Y的函数，可以通过变量替换法求Z的概率密度函数：
$$
\begin{aligned}
F_Z(z) &= P(Z \leq z) \\
&= P(X^2 - 2XY \leq z) \\
&= P(Y \geq \frac{X^2 - z}{2}) \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{\frac{x^2-z}{2}}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dydx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{\frac{x^2-z}{2}}^{\infty} f_{X}(x) f_{Y|X}(y|x) dydx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) \int_{\frac{x^2-z}{2}}^{\infty} f_{Y|X}(y|x) dydx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) (1 - F_{Y|X}(\frac{x^2-z}{2}|x)) dx
\end{aligned}
$$
其中，$f_{Y|X}(y|x)$表示在给定X的条件下Y的概率密度函数，$F_{Y|X}(y|x)$表示在给定X的条件下Y的分布函数。

最后，可以对$F_Z(z)$求导数得到Z的概率密度函数：
$$
f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) f_{Y|X}(\frac{x^2-z}{2}|x) dx
$$

由于Z的表达式比较复杂，无法简单地确定其概率密度函数。您可以根据具体情况采用数值积分或其他数值方法来计算Z的概率密度函数。