设随机变量(x,y)在区域D=[0<x<2,0<y<2]内服从均匀分布,求,Z=xy的概率密度函数
时间: 2024-03-30 16:38:51 浏览: 45
由于Z=XY,我们需要先求出X和Y的联合概率密度函数,然后通过变量变换求Z的概率密度函数。
X和Y的联合概率密度函数为:
f(x,y) = 1/(2*2) = 1/4,当0<x<2,0<y<2时
现在我们来进行变量变换,令:
Z = XY
U = X
V = Y
则Z的概率密度函数为:
fz(z) = ∫∫f(u,v)|J|dudv,其中J为雅可比行列式
我们需要求出J,即:
J = ∣∣∂(u,v)/∂(z,u) ∂(u,v)/∂(z,v)∣∣
根据变量变换,我们可以得到:
u = z/v
v = v
所以:
∂(u,v)/∂(z,u) = 1/v
∂(u,v)/∂(z,v) = -z/v^2
因此,J = |1/v -z/v^2| = z/v^2
将J带入上面的公式中,我们得到:
fz(z) = ∫∫f(u,v)|J|dudv
= ∫∫(1/4)(z/v^2)|J|dudv
= ∫∫(1/4)(z/v^2)(z/v^2)dudv
= ∫[0,2]∫[0,2] (1/4)*(z/v^2)*(z/v^2) dudv
= (1/4)*∫[0,2]∫[0,2] (z^2/v^4) dudv
= (1/4)*∫[0,2] (z^2/v^3) dv
= (1/4)*[(-z^2/2v^2)|0~2]
= (1/4)*[(-z^2/8) + (z^2/2)]
= (1/4)*[(3/8)z^2]
因此,Z=XY的概率密度函数为:
fz(z) = (3/32)*z^2,当0<z<4时
综上所述,Z=XY的概率密度函数为fz(z) = (3/32)*z^2,当0<z<4时。
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