复高斯分布的概率密度函数表达式

复高斯分布（Complex Gaussian Distribution）是一种二维或更高维的随机变量概率分布，其中实部和虚部都服从独立的标准正态分布。对于二维的情况，复高斯分布在平面直角坐标系中表示为：

如果 \( Z = X + iY \)，其中 \( X \) 和 \( Y \) 分别是实部和虚部，它们都是独立的一维标准正态随机变量（\( X \sim N(0, 1), Y \sim N(0, 1) \)），那么 \( Z \) 的联合概率密度函数（PDF）可以用下面的形式表示：

\[ f_Z(z; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\pi \sigma^2} e^{-\frac{|z - \mu|^2}{\sigma^2}} \]

这里，
- \( z = x + iy \) 是复数，其中 \( x \) 和 \( y \) 是它的实部和虚部。
- \( \mu = \mu_x + i\mu_y \) 是分布的均值，\( \mu_x \) 和 \( \mu_y \) 是实部和虚部的均值。
- \( \sigma^2 \) 是方差，通常假定实部和虚部具有相同的方差。

注意，这个公式中的绝对值 \( |z - \mu|^2 \) 表示的是点 \( z \) 到均值 \( \mu \) 在复平面上的距离的平方。

相关问题

区间高斯分布概率密度函数表达式

区间高斯分布概率密度函数也称为截断高斯分布概率密度函数，是在一定区间内的高斯分布的概率密度函数。其表达式为：

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot{\begin{cases}\exp {\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}&x\in[a,b]\\0&x\notin [a,b]\end{cases}}}$$

其中，$\mu$ 为期望值，$\sigma$ 为标准差，$a$ 和 $b$ 分别为区间的下限和上限。

多元高斯概率密度函数的表达式

多元高斯概率密度函数的表达式可以表示为：

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k \det(\Sigma)}} \exp\left(-\frac{1}{2} (x-\mu)^T \Sigma^{-1} (x-\mu)\right) \]

其中，\(x\) 是一个 \(k\)-维向量，\(\mu\) 是一个 \(k\)-维向量表示均值，\(\Sigma\) 是一个 \(k \times k\) 的协方差矩阵，\(\det(\Sigma)\) 表示协方差矩阵的行列式，\(\Sigma^{-1}\) 表示协方差矩阵的逆矩阵。指数函数中的转置操作表示向量的转置。

这个表达式描述了多元高斯分布中观测数据点 \(x\) 出现的概率密度。它是由均值和协方差矩阵决定的，均值确定了分布的中心位置，而协方差矩阵决定了分布的形状和相关性。