高数将x/√(1+x²)展开成x的幂级数
时间: 2023-08-23 14:27:37 浏览: 133
可以使用泰勒级数的方法求解。首先,对于函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$,我们有如下的泰勒级数展开式:
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{x^n}{4^n}$$
接着,我们可以将$x/√(1+x²)$表示为$f(x^2)$的形式,即:
$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=x\cdot\frac{1}{\sqrt{1+(-x^2)}}=x\cdot f(-x^2)$$
然后,我们可以将$f(-x^2)$代入$f(x)$的级数展开式,得到
$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=x\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{(-x^2)^n}{4^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{4^n}$$
所以$x/√(1+x²)$的幂级数展开形式为$\sum_{n=0}^{\infty}\binom{2n}{n}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{4^n}$。
相关问题
求1/(1+exp(a+b*(x^2+d^2)^0.5))对x在0到正无穷上的积分
该积分无法用初等函数表示,需要使用高等数学方法求解。具体来说,可以使用变量代换和Gamma函数等技巧,得到积分结果为:
∫0~∞ 1/(1 + exp(a b*(x^2 + d^2)^0.5)) dx = (π/(2ab))^(1/2) * Γ(1/2 + 1/(2ab)) / Γ(1/(2ab))
其中,Γ表示Gamma函数。
高数求曲线y=1/x,直线x-y=0和x=3所围成图形的面积
我们可以使用定积分来计算曲线y=1/x所围成的面积。根据题目,我们需要计算从x=1到x=3的区间上曲线y=1/x与x轴之间的面积。由于该曲线在x轴右侧,因此面积为正值。
面积可以表示为积分,即:
$S = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx$
对于这个积分,我们可以使用换元法来求解,令u=lnx,则x=e^u,dx=e^u du,积分变为:
$S = \int_{0}^{\ln3} e^{-u} du$
这是一个比较简单的积分,可以直接求解,得到:
$S = [-e^{-u}]_{0}^{\ln3} = -e^{-\ln3} + e^{0} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
因此,所围成图形的面积为$\frac{2}{3}$。
相关推荐
![ppt](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083527.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)