grad1= grad1 + d1[1:][:,np.newaxis] @ xi[:,np.newaxis].T

这段代码的作用是将向量 xi 的外积加到 grad1 上。具体来说，它将 xi 向量的每个元素乘以 d1 向量的每个元素，并将结果加到 grad1 矩阵的相应位置上。这个操作可以用矩阵的乘法来实现。首先，d1[1:] 取出 d1 向量除第一个元素外的所有元素，然后将其转置成列向量。xi[:,np.newaxis] 将 xi 向量转置成列向量。最后，@ 符号执行矩阵乘法，将两个列向量的外积相加到 grad1 上。

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grad2 = grad2 + d2.T[:,np.newaxis] @ a1i[:,np.newaxis].T

这是一个矩阵运算，其中d2.T是一个列向量，a1i是一个行向量，两个向量的外积得到一个矩阵，然后将其加到grad2矩阵上。这个操作实际上是计算反向传播过程中的梯度值，并用于更新神经网络的参数。具体来说，grad2表示输出层神经元的权重矩阵的梯度，d2.T表示输出层的误差，a1i表示输入层的输出。通过这个矩阵运算，我们可以计算出输出层神经元权重矩阵的梯度，以便进行更新。

def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size, hidden_layer_size, num_labels,X, y,Lambda): # Reshape nn_params back into the parameters Theta1 and Theta2 Theta1 = nn_params[:((input_layer_size+1) * hidden_layer_size)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1) Theta2 = nn_params[((input_layer_size +1)* hidden_layer_size ):].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1) m = X.shape[0] J=0 X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) y10 = np.zeros((m,num_labels)) a1 = sigmoid(X @ Theta1.T) a1 = np.hstack((np.ones((m,1)), a1)) # hidden layer a2 = sigmoid(a1 @ Theta2.T) # output layer for i in range(1,num_labels+1): y10[:,i-1][:,np.newaxis] = np.where(y==i,1,0) for j in range(num_labels): J = J + sum(-y10[:,j] * np.log(a2[:,j]) - (1-y10[:,j])*np.log(1-a2[:,j])) cost = 1/m* J reg_J = cost + Lambda/(2*m) * (np.sum(Theta1[:,1:]**2) + np.sum(Theta2[:,1:]**2)) # Implement the backpropagation algorithm to compute the gradients grad1 = np.zeros((Theta1.shape)) grad2 = np.zeros((Theta2.shape)) for i in range(m): xi= X[i,:] # 1 X 401 a1i = a1[i,:] # 1 X 26 a2i =a2[i,:] # 1 X 10 d2 = a2i - y10[i,:] d1 = Theta2.T @ d2.T * sigmoidGradient(np.hstack((1,xi @ Theta1.T))) grad1= grad1 + d1[1:][:,np.newaxis] @ xi[:,np.newaxis].T grad2 = grad2 + d2.T[:,np.newaxis] @ a1i[:,np.newaxis].T grad1 = 1/m * grad1 grad2 = 1/m*grad2 grad1_reg = grad1 + (Lambda/m) * np.hstack((np.zeros((Theta1.shape[0],1)),Theta1[:,1:])) grad2_reg = grad2 + (Lambda/m) * np.hstack((np.zeros((Theta2.shape[0],1)),Theta2[:,1:])) return cost, grad1, grad2,reg_J, grad1_reg,grad2_reg

这是一个实现神经网络的代码，主要包括两个部分：前向传播和反向传播。其中，前向传播部分计算每个样本的预测值和损失函数，反向传播部分计算每个参数的梯度。具体来说，该函数接收神经网络的参数、输入层大小、隐藏层大小、输出层大小、训练数据、训练数据的标签、正则化参数Lambda。该函数首先将参数Theta1和Theta2恢复成原来的矩阵形式，然后计算每个样本的预测值和损失函数，再计算每个参数的梯度。最后，该函数返回损失函数和梯度，包括未经过正则化和经过正则化的梯度。