matlab求f=x^2在[a，b]上的分段线性插值函数，并估计误差

以下是 Matlab 代码实现：

% 定义函数
f = @(x) x.^2;

% 定义插值区间
a = 0;
b = 1;

% 定义插值节点数
n = 10;

% 生成插值节点及相应函数值
x = linspace(a, b, n+1);
y = f(x);

% 生成插值函数
xi = linspace(a, b, 1000);
yi = interp1(x, y, xi, 'linear');

% 计算误差
f_exact = f(xi);
error = abs(f_exact - yi);

% 绘图
plot(xi, f_exact, 'k-', xi, yi, 'r--');
legend('Exact', 'Interpolated');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Linear Interpolation');

其中，`interp1` 函数用于生成插值函数，第四个参数为 `'linear'` 表示采用线性插值方法。

生成的插值函数 `yi` 可以通过绘图与精确函数 `f_exact` 进行比较，误差可以通过 `error` 计算得到。

需要注意的是，误差的计算方法与具体的误差度量方式有关，例如可以采用最大误差、平均误差等方式进行度量。

相关问题

MATLAB解答：设 f(x)=1/(1+x^2), 在 [-5,5] 上取 n=10, 按等距节点求分段线性插值-|||-函数In(x).要求(1)在同一图中画出函数f(x)和In(x)的图像;(2)计算各节点中-|||-点处的Ih(x)和f(x)的值,并估计误差(列表给出).

在MATLAB中，你可以按照以下步骤来完成这个任务：

1. **定义函数f(x)**：首先，我们需要定义分母为1加上x平方的函数f(x)。

function y = my_function(x)
    y = 1./(1 + x.^2);
end

2. **创建等间距节点**：由于n=10，我们会在[-5,5]上创建10个等间距的节点。使用`linspace`函数。

x_nodes = linspace(-5, 5, 11); % 加上端点，共11个点
y_nodes = my_function(x_nodes); % 计算每个节点的f(x)值

3. **计算插值函数In(x)**：使用`interp1`函数对f(x)进行线性插值，得到插值后的函数In(x)。

% In(x)的计算
x_interp = -5:0.1:5; % 创建插值点
y_interp = interp1(x_nodes, y_nodes, x_interp, 'linear', 'spline'); % 使用'spline'选项确保平滑过渡

4. **绘制图形**：使用`plot`函数同时绘制f(x)和In(x)。

figure;
hold on;
plot(x_nodes, y_nodes, 'o', 'MarkerSize', 8, 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'f(x)');
plot(x_interp, y_interp, '-r', 'DisplayName', 'In(x)');
hold off;
legend('show');
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Function f(x) and its Interpolation');

5. **计算并估计误差**：在每个节点及插值点处，比较f(x)和In(x)的值，并计算相对误差。假设误差是通过公式 `(|In(x) - f(x)| / max(|f(x)|, |In(x)|)) * 100` 计算的。

node_errors = abs(y_interp - y_nodes)./max(abs(y_nodes), abs(y_interp));
node_error_values = node_errors';
interpolation_errors = abs(y_interp - my_function(x_interp))./max(abs(my_function(x_interp)), abs(y_interp));

6. **显示误差列表**：最后，将误差值作为表格显示出来。

disp('Node Errors:');
fprintf('Node\t\tError\n');
for i = 1:length(node_error_values)
    fprintf('%d\t\t%.4f%%\n', i, node_error_values(i)*100);
end

disp('\nInterpolation Errors:');
fprintf('Interpolation Point\tError\n');
for i = 1:length(interpolation_errors)
    fprintf('%f\t\t%.4f%%\n', x_interp(i), interpolation_errors(i)*100);
end

完成后，你会看到两幅图，以及每个节点和插值点处的误差估算。

请使用matlab编程：编写Lagrange插值、Newton插值及分段线性插值多项式的程序，对函数f(x)=1/(1+x^2 )在[-5,5]上进行插值，并分别绘制插值函数及f(x)的图形，比较分析。N分别取5、10、20、40。

在MATLAB中，我们可以使用`linspace`生成等间距的数据点，然后使用`polyfit`函数计算Lagrange插值、Newton插值和分段线性插值的系数，最后通过`polyval`评估插值函数。下面是一个简单的示例代码，用于实现这个任务：

% 定义函数 f(x)
function y = my_function(x)
    y = 1./(1 + x.^2);
end

% 数据范围
x_range = -5:0.01:5;
N_values = [5 10 20 40];

% 对于每个N值，进行三种插值方法
figure; hold on
for i = 1:length(N_values)
    N = N_values(i);
    
    % 生成数据点
    x_data = linspace(-5, 5, N+1);
    y_data = my_function(x_data);

    % Lagrange插值
    p_lagrange = polyfit(x_data, y_data, N-1); % 减一是因为最后一个数据点用于确定斜率
    y_lagrange = polyval(p_lagrange, x_range);

    % Newton插值
    p_newton = newton_interpolation(x_data, y_data, N); % 自己实现的函数，这里假设有一个newton_interpolation函数
    y_newton = polyval(p_newton, x_range);

    % 分段线性插值
    p_linear = polyfit(x_data(1:end-1), y_data(1:end-1), 1); % 线性插值不需要那么多阶数
    y_segmented = interp1(x_data(1:end-1), y_data(1:end-1), x_range, 'linear');

    % 绘制曲线
    plot(x_range, y_data, 'o', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', ['Data (N=' num2str(N) ')']);
    plot(x_range, y_lagrange, '-r', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Lagrange');
    plot(x_range, y_newton, '-g', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Newton');
    plot(x_range, y_segmented, '-b', 'LineWidth', 1.5, 'DisplayName', 'Segmented Linear');

    % 添加标题和标签
    title(sprintf('Interpolations of f(x) = 1/(1+x^2) for N=%d', N));
    xlabel('x');
    ylabel('y');
    legend boxoff;

    % 记录每种插值方法误差
    error_lagrange(i) = max(abs(y_data - y_lagrange));
    error_newton(i) = max(abs(y_data - y_newton));
    error_segmented(i) = max(abs(y_data - y_segmented));
end

hold off