用 lindo、lingo、excel 和 wps 软件完成下列问题。 某工厂用甲、乙两种原料生产 A、B、C、D 四种产品，每种产品的利润、 现有的原料数及每种产品消耗原料定量如下表所示。 原料(公斤)\产品(万件) A B C D 提供量 甲 3 2 10 4 18 乙 0 0 2 0 3 利润(万元/万件) 9 8 50 19 问题:(提供量 18 改为学号的后两位，若小于 10，则位置互换;提供量 3 改为 学号的 56 位) (1)怎样组织生产，才能使总利润最大? (2)写出对偶线性规划，变量用 y 表示。 (3)若 A、C 产品的利润产生波动，波动范围多大，其最优解不变? (4)若想增加甲种原料，增加多少时，原最优基不变? (5)若考虑要生产产品 E，且生产 1 万件 E 产品要消耗甲原料 3 公斤，消耗乙 原料 1 公斤。那么，E 产品的每万件利润是多少时有利于投产? (6)假设该工厂又增加了用电不超过 8 千瓦的限制，而生产 A、B、C、D 四种 产品各 1 万件分别消耗电 4、3、5、2 千瓦，此约束是否改变了原最优决策方案?

由于题目中涉及多个问题，下面分别回答。

(1) 怎样组织生产，才能使总利润最大？

设 A、B、C、D 四种产品的生产量分别为 $x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$（单位：万件），则总利润 $z$ 为：

$$
z=9x_1+8x_2+50x_3+19x_4
$$

同时，根据原料的供给量以及每种产品消耗原料的定量，有以下约束条件：

$$
\begin{aligned}
3x_1+2x_2+10x_3+4x_4&\leq 18 \\
2x_3+3x_4&\leq 3 \\
x_1,x_2,x_3,x_4&\geq 0
\end{aligned}
$$

将约束条件和目标函数写成标准形式，得到如下的线性规划模型：

$$
\begin{aligned}
\text{maximize} \qquad & z=9x_1+8x_2+50x_3+19x_4 \\
\text{subject to} \qquad & 3x_1+2x_2+10x_3+4x_4\leq 18 \\
& 2x_3+3x_4\leq 3 \\
& x_1,x_2,x_3,x_4\geq 0
\end{aligned}
$$

用 lindo、lingo、excel 或 wps 等软件求解上述线性规划模型即可得到最优解。在 lingo 中，可以使用以下代码：

Model:
max = 9x1 + 8x2 + 50x3 + 19x4
Subject to:
c1: 3x1 + 2x2 + 10x3 + 4x4 <= 18
c2: 2x3 + 3x4 <= 3
Bounds:
x1 >= 0
x2 >= 0
x3 >= 0
x4 >= 0
End

(2) 写出对偶线性规划，变量用 y 表示。

对于上述线性规划模型，其对偶模型为：

$$
\begin{aligned}
\text{minimize} \qquad & w=18y_1+3y_2 \\
\text{subject to} \qquad & 3y_1+2y_2\geq 9 \\
& 2y_1+3y_2\geq 8 \\
& 10y_1+2y_2\geq 50 \\
& 4y_1\geq 19 \\
& y_1,y_2\geq 0
\end{aligned}
$$

其中，$y_1$ 和 $y_2$ 分别表示第一个和第二个约束条件的对偶变量。

(3) 若 A、C 产品的利润产生波动，波动范围多大，其最优解不变？

假设 A 产品利润增加 $\Delta z_1$，C 产品利润减少 $\Delta z_2$，则目标函数变为：

$$
z'=9x_1+\Delta z_1 x_2+(50-\Delta z_2) x_3+19x_4
$$

将目标函数写成矩阵形式，有：

$$
\mathbf{c}=\begin{bmatrix} 9 \\ \Delta z_1 \\ 50-\Delta z_2 \\ 19 \end{bmatrix}
$$

因此，当 $\Delta z_1$ 和 $\Delta z_2$ 满足以下条件时，最优解不变：

$$
\begin{aligned}
&\Delta z_1\leq \frac{\mathbf{c}_2}{\mathbf{a}_{2,2}}=\frac{8}{3} \\
&\Delta z_2\leq \frac{\mathbf{c}_3}{\mathbf{a}_{3,3}}=\frac{19}{2}
\end{aligned}
$$

其中，$\mathbf{a}$ 是约束条件的系数