从1到n中找出缺少的数字，用二分法写出算法

好的，让我来回答你的问题。对于你所提出的问题，可以使用二分法来解决。具体实现如下：

1. 首先将数组按从小到大排序

2. 然后设置左边界为1，右边界为数列中的最大值n

3. 接着使用二分法搜索数组中确实的数字，每次将数组一分为二，判断中间点元素是否是正确的，如果不是，则将右边界缩小至中间点左侧，否则将左边界扩大至中间点右侧

4. 当左右边界相等时，此时的值即为确实的数字

下面是具体的实现代码：

def missing_number(nums):
    nums.sort()
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] == mid + 1:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return left + 1

nums = [1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9]
print(missing_number(nums)) # 5

希望这个算法可以帮助你解决问题。

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用二分法写出从n个元素找到特定的值

二分查找算法是一种在有序数组中查找特定元素的有效方法，也称为折半查找。其基本步骤如下：

1. **初始化**：设置两个指针，`low`表示数组的起始索引，`high`表示数组的结束索引。初始时，`low = 0` 和 `high = n - 1`。

2. **检查条件**：当`low`小于等于`high`时，循环继续。

3. **计算中间位置**：计算中间索引`mid`，通常是 `(low + high) // 2`。

4. **比较目标值**：如果数组的中间元素正好是我们正在寻找的目标值，返回这个索引。

5. **判断并调整范围**：如果中间元素大于目标值，说明目标可能在左半部分，将`high`设为`mid - 1`；如果中间元素小于目标值，说明目标可能在右半部分，将`low`设为`mid + 1`。

6. **重复步骤2-5**，直到找到目标值或者`low > high`，此时表明目标不存在于数组中。

def binary_search(arr, target):
    low = 0
    high = len(arr) - 1
    
    while low <= high:
        mid = (low + high) // 2
        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] < target:
            low = mid + 1
        else:
            high = mid - 1
            
    return -1  # 如果没找到目标，返回-1表示未在数组中找到

给定a，用二分法设计出a^n的算法

使用二分法设计求解`a^n`的算法通常不是最佳实践，因为二分法主要用于查找、排序等操作，而不是高效地计算幂运算。对于大数乘方，常规的做法是借助快速幂（Fast Exponentiation，也称指数对数法则）。

快速幂算法利用了这样一个性质：`(a^m)^n = a^(m*n)` 和 `a^(2^n) = (a^2)^n`，它的基本思想是将指数分解成二进制形式，然后通过循环逐步降低指数，每次只做一次平方运算。具体步骤如下：

1. 如果 n 为0，则直接返回1。
2. 如果 n 为奇数（例如 n=2k+1），则 `a^n = a * a^n/2`（即先将底数自乘，然后平方一半次）。
3. 如果 n 为偶数（例如 n=2k），则 `a^n = (a*a^n/2)`（仅做平方）。
4. 对于大的 n，可以递归地应用上述步骤，直到 n 变为1为止。

以下是使用Python实现的基本版本：

def fast_power(a, n):
    if n == 0:
        return 1
    half = fast_power(a, n // 2)
    if n % 2 == 0:
        return half * half
    else:
        return half * half * a