验证哥德巴赫猜想2，一个大于5的奇数可以拆分成三个素数之和python

验证哥德巴赫猜想2需要枚举所有的可能情况，因此需要使用一些算法优化。

以下是使用 Miller-Rabin 素性测试和 Pollard-Rho 因子分解算法实现的代码：

import random

def is_prime(n, k=50):
    """Miller-Rabin素性测试"""
    if n < 2:
        return False
    if n == 2 or n == 3:
        return True
    if n % 2 == 0:
        return False

    r, s = 0, n - 1
    while s % 2 == 0:
        r += 1
        s //= 2

    for _ in range(k):
        a = random.randint(2, n - 2)
        x = pow(a, s, n)
        if x == 1 or x == n - 1:
            continue
        for _ in range(r - 1):
            x = pow(x, 2, n)
            if x == n - 1:
                break
        else:
            return False

    return True

def pollard_rho(n):
    """Pollard-Rho因子分解"""
    if n % 2 == 0:
        return 2
    x = random.randint(1, n - 1)
    c = random.randint(1, n - 1)
    y = x
    d = 1
    while d == 1:
        x = (pow(x, 2, n) + c) % n
        y = (pow(y, 2, n) + c) % n
        y = (pow(y, 2, n) + c) % n
        d = gcd(abs(x - y), n)
        if d == n:
            return pollard_rho(n)
    return d

def gcd(a, b):
    """求最大公约数"""
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

def find_prime_factors(n):
    """分解质因数"""
    factors = []
    while n > 1:
        if is_prime(n):
            factors.append(n)
            break
        else:
            factor = pollard_rho(n)
            factors.extend(find_prime_factors(factor))
            n //= factor
    return factors

def find_prime_sum(n):
    """寻找三个素数之和"""
    if n < 7 or n % 2 == 0:
        return None
    for i in range(2, n - 4):
        if is_prime(i) and is_prime(n - i - 2):
            return (2, i, n - i - 2)
    factors = find_prime_factors(n - 4)
    for i in range(len(factors)):
        for j in range(i, len(factors)):
            if is_prime(n - factors[i] - factors[j]):
                return (factors[i], factors[j], n - factors[i] - factors[j])
    return None

# 测试
n = 99999991
sum = find_prime_sum(n)
if sum:
    print("{} = {} + {} + {}".format(n, sum[0], sum[1], sum[2]))
else:
    print("无法拆分成三个素数之和")

这里的 `is_prime` 函数使用了 Miller-Rabin 素性测试，可以在 $O(k\log^3n)$ 的时间内判断一个数是否为素数，其中 $k$ 是测试次数，一般取 50 左右。

`pollard_rho` 函数使用了 Pollard-Rho 因子分解算法，可以在 $O(\sqrt[4]{n})$ 的时间内分解一个合数，其中 $\sqrt[4]{n}$ 是 $n$ 的四次方根。

`find_prime_factors` 函数使用了 Pollard-Rho 因子分解算法，可以在 $O(\sqrt[4]{n}\log n)$ 的时间内分解一个合数。

`find_prime_sum` 函数先枚举 $2$ 到 $n-4$ 之间的素数 $p$，再判断 $n-p-2$ 是否为素数。如果不存在这样的素数，则使用 Pollard-Rho 因子分解算法分解 $n-4$，然后枚举所有可能的两个因子 $a$ 和 $b$，再判断 $n-a-b$ 是否为素数。如果都无法拆分成三个素数之和，则返回 `None`。