级数(-1)^n 乘 1/(n+1)*n 的敛散性
时间: 2023-06-18 12:06:31 浏览: 207
我们考虑使用交错级数测试来判断该级数的敛散性。
首先,注意到该级数中的 (-1)^n 交替变号,而 1/(n+1)*n 的绝对值单调递减趋于 0。因此,我们可以考虑使用交错级数测试。
具体来说,交错级数测试指的是:对于一个交错级数 ∑(-1)^n * a_n,如果满足 a_n 单调递减趋于 0,那么该级数收敛。
在本题中,我们可以取 a_n = 1/(n+1)*n。注意到 a_n 单调递减趋于 0,因此我们可以使用交错级数测试判断该级数的敛散性。
具体来说,我们需要验证两个条件:
1. a_n 单调递减趋于 0。
2. ∑(-1)^n * a_n 收敛。
对于条件 1,我们有:
a_n - a_{n+1} = 1/(n+1)*n - 1/(n+2)*(n+1) = 1/(n+1) - 1/(n+2) > 0
因此,a_n 单调递减趋于 0。
对于条件 2,我们有:
当 n 为奇数时,a_n < 0;
当 n 为偶数时,a_n > 0。
因此,∑(-1)^n * a_n 为一个交错级数。由于 a_n 单调递减趋于 0,因此交错级数测试告诉我们该级数收敛。
综上所述,该级数收敛。
相关问题
-1/(√n+n)的级数
要判断级数的敛散性,我们可以使用比较判别法或根据判别法。
首先,我们可以使用比较判别法,将原级数与一个已知的敛散性的级数进行比较。由于对于所有n≥1,我们有:
0 < √n < √n + n
因此:
| -1 / (√n + n) | < | -1 / √n |
我们知道,级数 ∑ 1/√n 是一个收敛的p级数(其中p=1/2),因此由比较判别法,原级数也是一个收敛的级数。
另外,我们也可以使用根据判别法来判断原级数的敛散性。我们考虑计算原级数的通项的极限值:
lim┬n→∞〖| -1 / (√n + n) |^(1/n) 〗= lim┬n→∞(1 / (√n + n))^(1/n)
我们可以对该极限式子进行变形,得到:
lim┬n→∞(1 / (√n + n))^(1/n) = lim┬n→∞(1 / n(1/2) (1 + 1/n)^(1/n)) = 1
由于该极限值小于1,因此根据根据判别法,原级数是一个收敛的级数。
因此,级数 ∑ (-1 / (√n + n)) 是一个收敛的级数。
在matlab中讨论下列级数的敛散性。 ∑_(n=1)^∞▒((-1)^n⋅n)/3^(n-1) ∑_(n=1)^∞▒(-1)^n/n
第一个级数可以使用比值判别法来讨论其收敛性:
设 a_n = (-1)^n * n / 3^(n-1),则有
|a_(n+1)/a_n| = |(-1)^(n+1) * (n+1) / 3^n| * |(-1)^n * 3^(n-1) / n|
= (n+1) / 3 * (1 / n)
= (n+1) / (3n)
当 n 趋向于无穷大时,|a_(n+1)/a_n| 的极限值为 1/3,因此该级数的收敛半径为 R = 3。由于当 n 为奇数时,a_n < 0,当 n 为偶数时,a_n > 0,因此该级数是一个交错级数,满足莱布尼茨定理的条件。根据莱布尼茨定理可知,该级数收敛。
第二个级数也可以使用莱布尼茨定理来判别其收敛性。设 b_n = (-1)^n / n,则有 b_n >= 0,且 b_n 递减趋于 0。因此,该级数为一个交错级数,满足莱布尼茨定理的条件。根据莱布尼茨定理可知,该级数收敛。
相关推荐
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![ppt](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083527.png)
![doc](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![docx](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083331.png)
![doc](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083327.png)