jordan标准型求法例题
时间: 2023-06-25 08:07:55 浏览: 114
假设有一个线性方程组:
3x + 2y - z = 1
x - y + 2z = 6
2x + 3y + z = 7
首先,将其写成矩阵形式:
[[3, 2, -1, 1],
[1, -1, 2, 6],
[2, 3, 1, 7]]
然后,我们要将其转化为 Jordan 标准型。以下是求解过程:
Step 1: 将矩阵变成行阶梯形式
[[1, -1, 2, 6],
[0, 5, -5, -15],
[0, 0, 15, 15]]
Step 2: 将矩阵变成最简形式
[[1, 0, 1, 3],
[0, 1, -1, -3],
[0, 0, 1, 1]]
Step 3: 将矩阵变成 Jordan 标准型
[[1, 0, 0, 0],
[0, 1, 0, 0],
[0, 0, 1, 0]]
因此,该线性方程组的 Jordan 标准型为:
x1 = 0
x2 = 0
x3 = 0
这意味着该线性方程组只有零解,即它的解空间只包含零向量。
相关问题
求jordan标准型matlab代码
以下是求Jordan标准型的MATLAB代码:
function [J, V] = jordan(A)
[V, D] = eig(A);
J = zeros(size(A));
tol = 1e-10;
for i = 1:size(A,1)
if abs(D(i,i) - round(D(i,i))) < tol
J(i,i) = round(D(i,i));
else
J(i,i) = D(i,i);
end
for j = i+1:size(A,1)
if abs(D(j,j) - J(i,i)) < tol
J(i,j) = 1;
elseif abs(D(j,j) - conj(J(i,i))) < tol
J(i,j) = 1i;
end
end
end
end
其中,A是要求Jordan标准型的方阵,J是Jordan标准型,V是相应的特征向量矩阵。tol参数为一个非常小的误差容限,用于处理复数相等的情况。
求jordan标准型代码
以下是求 Jordan 标准形的 Python 代码:
```python
import numpy as np
def jordan(mat):
n = len(mat)
for i in range(n):
# 在当前行查找主元素
pivot = mat[i][i]
row = i
for j in range(i + 1, n):
if abs(mat[j][i]) > abs(pivot):
pivot = mat[j][i]
row = j
# 如果主元素不在对角线上,则交换行
if row != i:
mat[i], mat[row] = mat[row], mat[i]
# 将主元素归一
for j in range(n):
mat[i][j] /= pivot
# 对于其他行,进行消元
for j in range(n):
if j != i:
factor = mat[j][i]
for k in range(n):
mat[j][k] -= factor * mat[i][k]
return mat
# 测试
A = np.array([[2, 1, 1],
[0, 1, 0],
[0, 0, 2]])
J = jordan(A)
print(J)
```
这段代码实现了对一个 $n \times n$ 矩阵的 Jordan 标准形分解。具体来说,它采用高斯-约旦消元法,先将矩阵化为阶梯形式,然后再进行反向消元,最后得到的矩阵就是 Jordan 标准形。
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