编制龙贝格求积公式对应的自适应求积算法 matlab

以下是MATLAB实现的自适应求积算法，其中Romberg函数使用龙贝格求积公式进行积分：

function [Q, err] = adaptive_integrate(f, a, b, tol)
    % f：被积函数
    % a, b：积分区间
    % tol：误差容限
    % Q：积分结果
    % err：估计误差

    % 计算龙贝格积分值
    Q1 = Romberg(f, a, b);

    % 将整个区间划分为两个子区间
    c = (a + b) / 2;

    % 计算子区间上的龙贝格积分值
    Q2 = Romberg(f, a, c) + Romberg(f, c, b);

    % 计算估计误差
    err = abs(Q2 - Q1) / 15;

    % 如果误差小于容限，则返回积分结果
    if err <= tol
        Q = Q2;
        return
    end

    % 否则，对子区间递归调用自适应求积算法
    [Qa, erra] = adaptive_integrate(f, a, c, tol/2);
    [Qb, errb] = adaptive_integrate(f, c, b, tol/2);

    % 返回两个子区间的积分结果之和
    Q = Qa + Qb;

    % 将估计误差设置为两个子区间误差之和
    err = erra + errb;
end

% 使用Romberg方法求解积分值
function Q = Romberg(f, a, b)
    % f：被积函数
    % a, b：积分区间
    % Q：积分结果

    % 初始化Romberg矩阵
    R = zeros(4, 4);
    R(1, 1) = (b - a) * (f(a) + f(b)) / 2;

    % 计算Romberg矩阵
    for i = 2:4
        h = (b - a) / 2^(i-2);
        R(i, 1) = 0.5 * R(i-1, 1) + h * sum(f(a+h:h:b-h));
        for j = 2:i
            R(i, j) = R(i, j-1) + (R(i, j-1) - R(i-1, j-1)) / (4^(j-1) - 1);
        end
    end

    % 返回积分结果
    Q = R(4, 4);
end

使用方法：

1. 将上述代码保存为.m文件，例如adaptive_integrate.m。
2. 在MATLAB中调用该函数，例如：

f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi/2;
tol = 1e-6;

[Q, err] = adaptive_integrate(f, a, b, tol);

其中，f为被积函数，a和b为积分区间，tol为误差容限，Q为积分结果，err为估计误差。