用c++写一个函数来实现二阶阻尼系统，通过改变参数来实现欠阻尼，临界阻尼，过阻尼

以下是一个简单的C函数，可以实现二阶阻尼系统的模拟，并通过改变参数来实现欠阻尼、临界阻尼和过阻尼的情况。

#include <math.h>

#define PI 3.14159265358979323846

// 二阶阻尼系统的模拟函数
double simulate_damped_oscillator(double x0, double v0, double m, double k, double c, double t)
{
    double omega0 = sqrt(k / m);  // 无阻尼自然角频率
    double zeta = c / (2 * sqrt(k * m));  // 阻尼比
    double omega;  // 实际角频率

    if (zeta < 1) {
        // 欠阻尼情况
        omega = omega0 * sqrt(1 - zeta * zeta);
    } else if (zeta == 1) {
        // 临界阻尼情况
        omega = omega0;
    } else {
        // 过阻尼情况
        omega = omega0 * sqrt(zeta * zeta - 1);
    }

    double A, B;  // 二阶系统的通解系数
    if (zeta < 1) {
        // 欠阻尼情况
        double alpha = -zeta * omega0;
        double beta = omega;
        A = x0;
        B = (v0 + alpha * x0) / beta;
    } else if (zeta == 1) {
        // 临界阻尼情况
        A = x0;
        B = v0 + omega0 * x0;
    } else {
        // 过阻尼情况
        double alpha = -zeta * omega0;
        double beta = omega0 * sqrt(zeta * zeta - 1);
        A = (v0 + alpha * x0) / (2 * beta * zeta);
        B = x0 - A;
    }

    double xt;  // 位移
    if (zeta < 1) {
        // 欠阻尼情况
        xt = exp(-zeta * omega0 * t) * (A * cos(omega * t) + B * sin(omega * t));
    } else if (zeta == 1) {
        // 临界阻尼情况
        xt = (A + B * t) * exp(-omega0 * t);
    } else {
        // 过阻尼情况
        xt = A * exp((-zeta + sqrt(zeta * zeta - 1)) * omega0 * t)
                + B * exp((-zeta - sqrt(zeta * zeta - 1)) * omega0 * t);
    }

    return xt;
}

在使用该函数时，需要传入以下参数：

- x0：初始位移；
- v0：初始速度；
- m：质量；
- k：弹簧刚度；
- c：阻尼系数；
- t：时间。

函数会根据输入的参数计算出二阶阻尼系统的实际角频率和通解系数，然后根据阻尼情况计算出位移，并返回结果。

接下来，我们可以通过调整参数来实现欠阻尼、临界阻尼和过阻尼的情况。例如，我们可以使用以下代码片段来模拟一个欠阻尼的二阶阻尼系统：

double x = simulate_damped_oscillator(1.0, 0.0, 1.0, 1.0, 0.5, 1.0);

在这里，我们将初始位移设置为1，初始速度为0，质量和弹簧刚度都为1，阻尼系数为0.5，时间为1。这个系统的阻尼比为0.5，小于1，因此是一个欠阻尼的系统。运行这段代码，我们可以得到系统在1秒时的位移，即x的值。

类似地，我们可以通过改变阻尼系数来模拟临界阻尼和过阻尼的情况。例如，当阻尼系数为1时，系统就是一个临界阻尼的系统：

double x = simulate_damped_oscillator(1.0, 0.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0);

而当阻尼系数为2时，系统就是一个过阻尼的系统：

double x = simulate_damped_oscillator(1.0, 0.0, 1.0, 1.0, 2.0, 1.0);

通过调整这些参数，我们可以模拟出不同类型的二阶阻尼系统，并观察它们的行为。