python编写利用“牛顿迭代法”求出1~n之间的所有整数的算术平方根，并与math库中sqrt0函数的结果进行比较。

在Python中，我们可以使用牛顿迭代法（Newton's Method）来近似计算一个正实数的平方根。这是一种迭代算法，对于任意一个非负实数a，我们从一个初始猜测x0开始，然后通过不断逼近公式`x_{n+1} = (x_n + a / x_n) / 2`来逐步接近其真实平方根。

下面是一个简单的示例，用于计算1到n之间的所有整数的平方根并与`math.sqrt()`函数的结果进行比较：

import math

def newton_sqrt(n, x0=1, epsilon=1e-6):
    while abs(x0 - n / x0) > epsilon:
        x0 = (x0 + n / x0) / 2
    return round(x0)

# 计算并比较
for i in range(1, n + 1):
    approx_root = newton_sqrt(i)
    exact_root = int(math.sqrt(i))
    print(f"Approximate root of {i}: {approx_root}, Exact root from math.sqrt: {exact_root}, Difference: {abs(approx_root - exact_root)}")

相关问题

python利用牛顿迭代法求出1～n之间的所有整数的算术平方根，并与math库中sqrt函数的结果进行比较

以下是使用牛顿迭代法求出1～n之间所有整数的算术平方根的Python代码：

import math

def newton_sqrt(n):
    x = n
    while True:
        y = (x + n / x) / 2
        if abs(y - x) < 0.000001:
            return y
        x = y

n = 10
for i in range(1, n+1):
    my_sqrt = newton_sqrt(i)
    math_sqrt = math.sqrt(i)
    print(f"{i}: my_sqrt={my_sqrt:.6f} math_sqrt={math_sqrt:.6f} diff={abs(my_sqrt - math_sqrt):.6f}")

输出：

1: my_sqrt=1.000000 math_sqrt=1.000000 diff=0.000000
2: my_sqrt=1.414214 math_sqrt=1.414214 diff=0.000000
3: my_sqrt=1.732051 math_sqrt=1.732051 diff=0.000000
4: my_sqrt=2.000000 math_sqrt=2.000000 diff=0.000000
5: my_sqrt=2.236068 math_sqrt=2.236068 diff=0.000000
6: my_sqrt=2.449490 math_sqrt=2.449490 diff=0.000000
7: my_sqrt=2.645751 math_sqrt=2.645751 diff=0.000000
8: my_sqrt=2.828427 math_sqrt=2.828427 diff=0.000000
9: my_sqrt=3.000000 math_sqrt=3.000000 diff=0.000000
10: my_sqrt=3.162278 math_sqrt=3.162278 diff=0.000000

可以看到，使用牛顿迭代法得到的结果与math库中的sqrt函数得到的结果非常接近，两者之间的差异非常小。

利用“牛顿迭代法”求出1~n之间的所有整数的算术平方根，并与math库中sqrt0函数的结果进行比较。

"牛顿迭代法"是一种数值计算方法，用于逼近函数的零点，对于求解非负实数x的平方根特别有效。我们可以创建一个循环，从1到n，对每个数i，利用初始猜测值如i除以2开始，通过不断更新猜测值使其更接近实际的算术平方根，直到满足某个精度要求。

以下是Python代码的一个示例，展示了如何使用牛顿迭代法来求取并比较1到n之间整数的算术平方根：

import math

def sqrt_newton(n):
    def f(x, n):
        return x**2 - n
    def df(x, n):
        return 2 * x
    guess = n / 2
    while True:
        better_guess = guess - f(guess, n) / df(guess, n)
        if abs(guess - better_guess) < 1e-6:  # 设置一个很小的阈值判断是否足够精确
            break
        guess = better_guess
    return better_guess

for i in range(1, n+1):
    sqrt_i = sqrt_newton(i)
    math_sqrt_i = math.sqrt(i)
    print(f"{i} 的牛顿迭代法结果是 {sqrt_i}, math库的结果是 {math_sqrt_i}. 区别是 {abs(sqr